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一 圆柱与圆锥
一、面的旋转
1.点动成线,线动成面,面动成体。
2.将一个长方形以长(宽)为轴,快速旋转后可以形成一个圆柱。
3.将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转,会形成一个圆锥。
二、圆柱和圆锥的特征
1.圆柱有两个面是大小相同的圆,有一个面是曲面;圆锥有一个面是圆,有一个面是曲面。即:
2.圆柱的上、下两个圆面叫作圆柱的底面,圆柱的曲面叫作圆柱的侧面;圆柱的两个底面之间的距离叫作圆柱的高。即:
3.圆锥的圆面叫作圆锥的底面,圆锥的曲面叫作圆锥的侧面;圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高。
4.测量圆锥的高的方法:把圆锥放在水平面上,在圆锥的顶点上放一个平面的东西,比如一块木板,并与底面平行,测量一下这两个平面间的距离,这两个平面间的距离就是圆锥的高。即:
5.测量圆柱的高的方法:把圆柱放在水平面上,选一把直尺和一个直角三角板,使圆柱的底面与直尺的0刻线对齐,使三角板与直尺垂直并靠紧圆柱的底面,此时圆柱的另一个底面对准的刻度值即是圆柱的高。
三、圆柱的表面积
1.圆柱的侧面积。
圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形。
长方形的面积=长方形的长 × 长方形的宽
↓ ↓ ↓
圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×圆柱的高
用字母表示:S侧=Ch
或S侧=πdh
或S侧=2πrh
2.圆柱的表面积。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积
不同的圆柱形实物,它们的表面积也不相同。比如圆柱形烟囱的表面积等于烟囱的侧面积,圆柱形水桶的表面积就是水桶的侧面积加上一个底面积。
四、圆柱的体积
1.意义:圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。
2.圆柱的体积的计算公式。
把一个圆柱的底面平均分成若干个相等的扇形,再把这些扇形按照等分线沿高剪开,等分成若干份,就可以拼成一个近似的长方体。如图:
长方体的体积= 长 × 宽×高
↓ ↓ ↓ ↓
圆柱的体积 =×高
用字母表示:V=S×h
V=πr2×h
3.求不规则物体的体积。
计算不规则物体的体积,可以借助圆柱形容器和水,给圆柱形容器里装适量的水,量出水的高度,把不规则物体放入容器完全浸入水中,并且水不被溢出,这时测量水的高度,上升的水的体积就是不规则物体的体积。
五、圆锥的体积
1.意义:圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。
2.圆锥的体积公式。
一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等,将圆锥形容器装满沙子,再倒入圆柱形容器,3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=圆柱的体积×
用字母表示为V=Sh
V=πr2h×
面的形状不同,快速旋转后形成的立体图形也不同。
圆柱有无数条高,圆锥只有一条高。
圆柱或圆锥的高都是一条垂直于底面的线段。
易错点:剪开圆柱的侧面时一定要沿高剪开才可以得到一个长方形。
易错点:在解决圆柱的表面积的问题时,要根据不同实物的表面情况进行计算。
把圆柱剪拼成一个近似的长方体后,它的体积大小不变,表面积增加。
运用转化的方法把圆柱转化成长方体,找出圆柱和长方体之间的关系,可以推导出圆柱的体积公式。
解决体积问题时,可以运用转化的方法把不规则的物体转化为规则的形体进行计算。
求不规则物体的体积一定要借助规则的容器和水来计算。
计算圆锥的体积要先计算与它等底等高的圆柱的体积,再乘。
易错题:只有圆柱和圆锥等底等高时,它们的体积才有可比性。
判断圆柱和圆锥的关系,一定要在等底等高的条件下。
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