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第2课时 垂线段
教学设计
课题 垂线段 授课人
素养目标 1.理解垂线段的概念.
2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
3.掌握垂线的性质“垂线段最短”.
教学重点 理解垂线的性质2，并能运用于生活实际.
教学难点 对点到直线的距离的理解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动活动一：创设情境，新课导入
设计意图
以实际问题引入本课重难点. 【情境导入】
同学们，你们知道在跳远比赛中，跳远成绩是如何测量出来的吗？
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
通过今天这节课的学习，我们将会得出相应的答案. 【教学建议】
以实际问题为例，让学生思考，领会“数学源于生活，又服务于生活”的理念.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
以实际生活问题为例，引出垂线段及点到直线的距离的概念并探究其性质. 探究点垂线的性质2——垂线段最短
对于“活动一”中的挖渠问题，我们可以将其简化为如下图形，则如何挖渠能使渠道最短即为求点P到直线l的最短路线.
对此，我们进行如下探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l. 比较线段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
测量各线段的长度，比较得出：线段PO的长度最短，即当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是过点P作垂线l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.
归纳总结：如果我们规定，当PO⊥直线l时，线段PO为点P到直线l的垂线段，即可得出如下结论（垂线的性质2）：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
问题1 我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形有什么区别与联系？
答：垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.
问题2以前我们学习过两点之间的距离，大家还记得怎样才能得到两点之间的距离吗？ 【教学建议】
教师先引导学生将实际问题抽象成几何图形，然后通过图形探究垂线段的性质，得出结论，最后可让学生举例说明“垂线段最短”在日常生活中的应用.
对于“点到直线的距离”应强调说明：距离指的是长度，是一个数量，而垂线段是图形，两者不能混淆.
教学步骤 师生活动
答：测量连接两个点的线段的长度.
问题3 类比两点之间的距离，一个点到一条直线的距离又该如何确定？
答：确定点到直线的距离，应该测量点到直线的垂线段的长度.
概念引入：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
教学步骤 师生活动
【对应训练】
1. P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为Q，M是直线l上一动点，下列结论正确的是（ C ）
A.PM＞PQ B.PM＜PQ
C.PM＞PQ或PM=PQ D.PM＜PQ或PM = PQ
2.如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC = 90°，则下列结论中正确的是（ C ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是点A到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离.
A.①②③ B.③④ C.①③ D.①②③④
3.如图，点A表示小明家，点B表示外婆家，小明想去河边l钓鱼，需要先到外婆家拿渔具，请你帮小明规划出最短的行走路线，并说明理由.
解：如图，连接AB，过点B作BC⊥l，垂足为C，则A-B-C即为最短的行走路线.理由：①两点之间，线段最短；②垂线段最短.
4.教材P6练习.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
联系生活实际或相关几何问题，强化对“垂线段最短”的运用. 例 如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄.
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置.
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M，N两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远？在哪一段上距离M，N两村都越来越远？
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离之和最短？如果存在，请在图中AB上画出点H；如果不存在，请说明理由.
解：（1）如图，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足为P，Q，则点P，Q即为所求.
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的线段AP上距离M，N两村都越来越近，在线段QP上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远，在线段BQ上距离M，N两村都越来越远.
（3）存在.如图，连接MN交AB于点H，则点H即为所求.
【对应训练】
如图①，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请说明依据.
解：（1）如图②，因为“两点之间，线段最短”，所以连接AD，BC交于点H，则点H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小.
（2）如图②，过点H作HG⊥EF，垂足为G，沿线段GH开渠最短，依据是“垂线段最短”. 【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.初中阶段，最短路线问题都是围绕线段和垂线段进行变化，教师应指导学生规范画图，牢记线段和垂线段的性质.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：“垂线段最短”和点到直线的距离的含义.垂线段、垂线的概念之间的区别和联系.
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P8习题5.1第7，10题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 5.1.2垂线
第2课时垂线段
1.垂线的性质2：垂线段最短.
2.点到直线的距离：垂线段的长度.
教学反思 本节课通过“挖掘水渠”这一实际问题的解决过程，逐步探究得出垂线的性质2，明确了点到直线的距离这一概念，渗透了“数学源于生活，又服务于生活”的理念.其中，应加深学生对于“垂线段最短”这一性质的理解，为后面学习三角形的高做好铺垫.
1.正确理解垂线的性质2: 垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言的.
例1如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB.这种铺设方法蕴含的数学原理是（ D ）
A.两点确定一条直线
B.两点之间，线段最短
C.过一点可以作无数条直线
D.垂线段最短
2.正确理解点到直线的距离：点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.
例2如图，AB⊥AC，AD⊥BC，那么点C到直线AD的距离是指（ D ）
A.线段AC的长
B.线段AD的长
C.线段BD的长
D.线段CD的长
解析：因为CD⊥AD，所以点C到直线AD的距离是指线段CD的长度.故选D.
例3 P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离不可能是（ D ）
A.1.5cm B.1.9cm C.2cm D.4cm
解析：2＜4＜5，由垂线段最短可知，当PC⊥l时，点P到直线l的距离为2cm，当PC与l不垂直时，点P到直线l的距离小于2cm，因此点P到直线l的距离小于或等于2cm.故选D.
例1如图，BD⊥AC于点D,DE⊥BC于点E.若DE=9,AB=12,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的长度的取值范围是9＜BD＜12.
解析：B是直线AC外一点,BA,BD是点B与直线AC上两点连接得到的线段,根据垂线段最短,可得BD＜AB. D是直线BC外一点,DE,DB是点D与直线BC上两点连接得到的线段,根据垂线段最短,可得DE＜BD. 故答案为9＜BD＜12.
例2如图,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别为C,D,则下列结论中,正确的有（ D ）
①线段CD的长度是点C到AB的距离;②线段AC的长度是点A到BC的距离;③AB＞AC＞CD.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
例3如图，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5，点P是线段AB上一个动点，在点P的运动过程中，PC长度随之发生变化.你能确定PC长度的最大值与最小值吗？
解：点P从点A运动到点B的过程中，线段PC经历从大变小再从小变大的过程，故当点P位于点A或点B时，线段PC有最大值.
（1）当点P与点A重合时，PC=AC=4；当点P运动到与点B重合时，PC=BC=3，所以PC长度的最大值为4.
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，此时PC的长度最小.
因为S三角形ABC = AC·BC=AB·PC，
所以PC===2.4.
所以PC长度的最小值为2.4. |
