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文件名称： 第1课时 平行线的性质教案
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文件大小： 575.50 KB         整理时间：2024-04-02
文件简介：
第1课时 平行线的性质
教学设计
课题 平行线的性质 授课人
素养目标 1.理解平行线的性质.
2.能运用平行线的性质进行推理.
教学重点 理解平行线的性质.
教学难点 体会性质2和性质3推理过程的逻辑表述，能运用平行线的性质进行推理.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动活动一：创设情境，新课导入
设计意图
由平行线的判定导入，复习旧知，为本课扫清知识障碍. 【回顾导入】
前面的课时，我们学习了三种平行线的判定方法，分别是什么？
（1）∵∠1=∠3（已知），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
（2）∵∠2=∠4（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
（3）∵∠2+∠3=180°（已知），
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
在上面的三种判定方法中，由同位角、内错角、同旁内角的关系可以得到两条直线平行的结论；反过来，在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课要学习的内容.

【教学建议】
教师引导学生回顾对平行线判定方法的探究过程，为类比平行线性质的探究作好铺垫.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
通过实际测量确认平行线中同位角的数量关系. 探究点1 两直线平行，同位角相等
（教材P18探究）如图，利用坐标纸上的直线，或者用直尺和三角板画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与这两条平行线相交.
问题1度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：

问题2找出这八个角中的同位角，它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系.
答：图中的同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.
每一组同位角的度数相等.
猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等.
问题3再任意画一条截线d（不与c平行），同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
答：经过测量比较得出，猜想仍然成立. 【教学建议】
教师带领学生共同探究，通过改变截线的位置多次测量，总结出共性结论,并逆向探究，确认结论的唯一性，得出平行线中同位角的度数的数量关系.教学中可让学生归纳性质1并用符号语言表述，锻炼学生将图形语言转化为文字语言和符号语言的能力.
教学步骤 师生活动


设计意图
通过实际测量确认平行线中内错角的数量关系，并推理论证.


问题4当两直线不平行时，同位角是否相等呢？请以直线c，d被直线a所截为例，比较各对同位角的度数.
答：两直线不平行时，同位角不相等.
结合上述探究过程，我们可以得到平行线的性质：
性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
符号语言：如图，∵a∥b，∴∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）.
【对应训练】
1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为120°.

2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2=64°，则∠3=58°.
探究点2 两直线平行，内错角相等
在前面探究的图中，内错角∠3和∠5，∠4和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的内错角的关系.
答：这两对内错角的度数相等.
猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等.
（教材P19思考）在上一节的学习中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
解：∵a∥b(已知)，
∴∠1=∠5(两直线平行，同位角相等).
又∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠3=∠5(等量代换).

这样，我们得到平行线的另一个性质：
性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
符号语言：如图，∵a∥b，∴∠3=∠5（或∠4=∠6）.
【对应训练】
1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为（ C）
A.25° B.30° C.35° D.55°

【教学建议】
根据探究1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1为条件，独立推导出平行线中内错角的数量关系.教师可要求学生类比性质1归纳出性质2的文字语言和符号语言.
教学步骤 师生活动
设计意图
通过实际测量确认平行线中同旁内角的数量关系，并推理论证.



2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是 35°.
探究点3 两直线平行，同旁内角互补
在前面探究的图中，同旁内角∠4和∠5，∠3和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同旁内角的关系，并仿照性质2写出推理的过程.
答：这两对同旁内角的和为180°（即互补）.
猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补.
推理：∵a∥b(已知)，
∴∠1=∠5(两直线平行，同位角相等).
又∠1+∠4=180°(邻补角的定义)，
∴∠5+∠4=180°(等量代换).
由此，我们得到平行线的第3个性质：
性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
符号语言：如图，∵a∥b，∴∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）.
例1（教材P19例1）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
分析：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补，从而求出∠D和∠C的度数.
解：∵AB∥DC，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
又∠A=100°，∠B=115°，
∴∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，
∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.
故梯形的另外两个角分别是80°和65°.
【对应训练】
1.如图，直线m∥n，其中∠1=40°，则∠2的度数为（ B ）
A.130° B.140° C.150° D.160°

2.如图，直线l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，则∠2的度数为110°.
【教学建议】
根据探究1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1或性质2为条件，独立推导出平行线中同旁内角的数量关系.教师可要求学生类比性质1归纳出性质3的文字语言和符号语言.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
对平行线的性质的运用进行强化训练，多次运用平行线的性质求角度. 例2端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗，小青将图①中的某条龙舟的侧面示意图简化成图②，若a∥b∥c，∠1=132°，求∠2+2∠3的度数.

解：∵a∥b∥c，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）.
∴∠4=∠2=180°-∠1=180°-132°=48°.
∵∠3=∠4，∴∠3=48°，
∴∠2+2∠3=48°+2×48°=144°.
【对应训练】
1.如图，AB∥CD∥EF，∠A=54°，∠C=26°，则∠AFC=28°.

2.教材P20练习第1题.
3.如图，点E在线段AB上，D，F都在线段BC上，并且ED∥AC，EF∥AD，若∠1=20°，则∠2等于多少度？说明理由.
解：∠2=20°.理由如下：
∵ED∥AC，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°（两直线平行，内错角相等）.
∵EF∥AD，
∴∠2=∠3=20°（两直线平行，内错角相等）.
【教学建议】
学生独立思考完成，教师统一答案.教学中应强调本题有多种方法，随着数学知识的逐渐积累，解决数学问题的方法也变得多种多样，过程要简洁规范，依据要引用正确.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：平行线的性质是什么？如何用平行线的性质1推导出性质2和性质3？在推理论证中需要注意哪些问题？
【知识结构】

【作业布置】
1.教材P22习题5.3第1~5题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.

教学步骤 师生活动
板书设计 5.3.1平行线的性质
第1课时平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
直线的位置关系角的数量关系
教学反思 本节课通过度量含有平行线的“三线八角”中角的度数，猜想同位角、内错角和同旁内角各自的关系，得出结论，并类比平行线的判定的探究过程，由一个性质推导其他性质，最终灵活运用性质，让学生学会理性思考，在简单推理中养成言之有据的习惯.



1.根据平行线的性质进行计算：根据图形中所求角与已知角的位置，结合平行线的性质进行角度转化再求解.注意图中的隐含条件：邻补角、对顶角、直角、平角以及两个特殊角的三角板.
例1如图，将直尺与30°角的三角板叠放在一起，若∠1=65°，则∠2的大小是（ B ）
A.45° B.55° C.65° D.75°

解析：如图，易知∠3=60°，∴∠4=180°-∠1-∠3=180°-65°-60°=55°.由平行线的性质可知∠2=∠4=55°.故选B.
例2将一副三角板ABC和DEF如图放置（其中∠ACB=30°，∠F=45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠AEF的度数为（ C ）
A.145° B.155°
C.165° D.175°


解析：易知∠DEF=45°.∵ED∥BC，∴∠DEC=∠ACB=30°.∴∠CEF=∠DEF-∠DEC=45°-30°=15°.∴∠AEF=180°-∠CEF=180°-15°=165°.故选C.
例3光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从空气射向水中时，会发生折射.如图，在空气中平行的两条入射光线，经过水面折射后得到的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，则∠2=58°．


解析：如图.∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°.∴∠3=180°-∠1=180°-122°=58°.∵经过水面折射后得到的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=58°.故答案为58°．
2.平行线的性质结合翻折计算：在翻折中要注意翻折前后的两部分是一样的，角度大小相等，再结合平行线的性质以及图中的隐含条件解题.
例4如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，D为线段AB上一点，将三角形BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（ C ）
A.15° B.20°
C.25° D.30°


解析：∵∠B=50°，CE∥AB，∴∠BCE=180°-∠B=130°.由折叠可知，∠BCD=∠ECD=12∠BCE=65°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=25°．故选C．
例5如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ B ）
A.∠1=2∠2
B.∠1+∠2=90°
C.∠1-∠2=30°
D.2∠1-3∠2=30°

解析：如图，由折叠可知，∠1=∠3，∠2=∠4.∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°.又∠BAC=180°-2∠1，∠ACD=180°-2∠2，∴（180°-2∠1）+（180°-2∠2）=180°，即∠1+∠2=90°.故选B.

例1如图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，∠PAG=12°，求∠ABD的度数.
解：∵FG∥EC，∴∠CAG=∠ACE=36°.
∴∠PAC=∠CAG＋∠PAG=36°＋12°=48°.
∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠PAC=48°.
∵DB∥FG，∴∠ABD=∠BAG=∠BAP＋∠PAG=48°＋12°=60°.

例2我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的刀片打开，得到如图①所示的图形.
（1）若∠1=55°，求∠2的度数；
（2）在刀片打开过程中，若∠2始终为钝角，试说明∠2=∠1+90°.

解：（1）如图②，延长CB交AD于点E.
由题意可知∠BAG=90°，AG∥CE，
∴∠EAG=∠1+∠BAG=55°+90°=145°，∠EAG=∠DEC.
∴∠DEC=145°.
∵刀片上、下是平行的，即AD∥CF，∴∠2=∠DEC=145°.
（2）由（1）可知∠DEC=∠DAG=∠1+∠BAG=∠1+90°，∠2=∠DEC，∴∠2=∠1+90°.
例3如图，D为射线CB上一点，且不与点B，C重合，DE∥AB交直线AC于点E，DF∥AC交直线AB于点F．画出符合题意的图形，猜想∠EDF与∠BAC的数量关系，并说明理由.
解：画图如图所示.
①当点D在线段BC上时，如图①，∠EDF=∠BAC.理由如下：
∵DE∥AB，∴∠DEC=∠BAC(两直线平行，同位角相等).
∵DF∥AC，∴∠EDF=∠DEC(两直线平行，内错角相等).
∴∠EDF=∠BAC(等量代换).
②当点D在线段CB的延长线上时，如图②，∠EDF+∠BAC=180°.理由如下：
∵DE∥AB，∴∠EDF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵DF∥AC，∴∠F=∠BAC(两直线平行，内错角相等).
∴∠EDF+∠BAC=180°(等量代换).


例4已知：直线a∥b，A和B是直线a上的点，C和D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC相交于点E.

（1）在如图①所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）.
（2）在如图②所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF相交于点F.当∠ABC=64°，∠ADC=72°时，求∠BFD的度数.
（3）如图③，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF相交于点F，设∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的式子表示∠BFD的补角.（直接写出结果即可）
解：（1）如图①，过点E作EG∥AB.
∵a∥b，∴EG∥CD.
∴∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG.
∴∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED.
∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE=∠BED=90°.
（2）如图②，过点F作FH∥AB.
∵a∥b，∴FH∥CD.
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH.
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF.
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=64°，∠ADC=72°，
∴∠ABF=∠ABC=32°，∠CDF = ∠ADC=36°.
∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=68°.
（3）∠BFD的补角为α-β.
解析：如图③，过点F作FQ∥AB.∵a∥b，∴FQ∥CD.∴∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ.∴∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°-∠ABF+∠CDF.∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，∴∠ABF=∠ABC=α，∠CDF=∠ADC=β.∴∠BFD=180°-∠ABF+∠CDF=180°-α+β.∴∠BFD的补角=α-β.
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