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文件名称： 第2课时 平行线的判定与性质的综合运用教案
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文件大小： 514.71 KB         整理时间：2024-04-02
文件简介：
第2课时 平行线的判定与性质的综合运用
教学设计
课题 平行线的判定与性质的综合运用 授课人
素养目标 1.掌握平行线的判定与性质的综合运用.
2.体会平行线的判定与性质的区别与联系.
教学重点 利用平行线的性质进行简单的计算和推理.
教学难点 区分平行线的判定与性质，平行线的判定和性质的综合运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入
设计意图
回顾平行线的判定与性质的相关知识，引入本课难点. 【回顾导入】
请同学们结合前面所学的内容，完成下面的表格.



思考：平行线的判定方法和性质有什么区别与联系？
今天我们将深入研究综合运用平行线的判定与性质解决相关问题.
【教学建议】
由学生将表格补充完整，教师总结，平行线的判定和性质是因果互换的两类不同的定理，判定是由数量关系得出位置关系，性质是由位置关系得出数量关系.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
在一组或多组平行线中综合运用平行线的判定与性质解决数学问题. 探究点 平行线的判定与性质的综合运用
1.先判定再性质
例1如图，已知∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数.
问题1 ∠B与∠D是一组什么角？
答：同旁内角.



问题2如果要让∠B与∠D具有特殊的数量关系，需要说明哪两条直线平行？
答：AB∥CD.
问题3问题2中的两条直线平行能否由题中条件直接得出？
答：不能，∠1与∠2的位置关系不是同位角、内错角或同旁内角.
问题4将条件如何转化可得问题2中的结论？
答：∠2的对顶角与∠1（或∠1的对顶角与∠2）是同位角. 【教学建议】
学生独立思考完成，教师统一答案.对于解题思路，直接由已知条件逐步推导出问题中的结论，或运用逆向思维由问题中的结论反向推导出所需条件并最终与已知条件联系，都是可行的，可根据题目和自身情况灵活选择；
教学步骤 师生活动
问题5请写出具体的推导过程.
解：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠DHE（对顶角相等），
∴∠1=∠DHE（等量代换）.
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴∠B+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠D=50°（已知），
∴∠B=180°-∠D=180°-50°=130°.
2.先性质再判定
例2补全下列推理过程：
如图，已知AB∥CD，DA平分∠CDE，∠A=∠AGB.BC和DE平行吗？为什么.
解：BC∥DE.理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠A=∠ADC(两直线平行，内错角相等).
∵DA平分∠CDE（已知），
∴∠ADC=∠ADE（角平分线的定义）.
∴∠A=∠ADE（等量代换）.
又∠A=∠AGB（已知），
∴∠AGB=∠ADE（等量代换）.
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）.
问题 在例1和例2中，哪些属于平行线的判定？哪些又属于平行线的性质？如何区分平行线的判定与性质？
答：从角的关系去得到两直线平行，就是判定；由已知直线平行得到角的相等或互补关系，就是平行线的性质.

【对应训练】
1.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3=（ B ）
A.50°
B.55°
C.60°
D.62°
2.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B.
（1）AB与EF平行吗？为什么？
（2）若∠BGD=55°，DE平分∠ADG，求∠1的度数.
解：（1）平行.理由：∵∠1+∠2=180°（已知），
∠1+∠DFE=180°（邻补角的定义），
∴∠2=∠DFE（同角的补角相等）.
解题过程中运用的定理与括号中填写的依据要一致，不要张冠李戴.

教学步骤 师生活动
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
（2）由（1）可知AB∥EF，
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）.
又∠3=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换）.
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴∠EDG=∠BGD=55°（两直线平行，内错角相等）.
∵DE平分∠ADG（已知），
∴∠ADG=2∠EDG=110°（角平分线的定义）.
又AB∥EF，
∴∠1=∠ADG=110°（两直线平行，同位角相等）.
3.教材P20练习第2题.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
通过添加辅助线构造平行线解决数学问题. 例3补全下列推理过程：
已知：如图，∠1+∠B=∠C.试说明BD∥CE.
解：如图，作射线AP，使AP∥BD，
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）.
又∠1+∠B=∠C（已知），
∴∠1+∠PAB=∠C（等量代换），
即∠PAC=∠C.
∴AP∥CE（内错角相等，两直线平行）.
又AP∥BD，
∴BD∥CE（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
【对应训练】
1.一个大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD=150°，则∠ABC=120°.

2.（1）如图①，已知直线AB∥CD，点P位于AB，CD之间，则∠AEP，∠CFP，∠EPF之间存在怎样的数量关系，请说明理由.小明想到了以下方法，请帮助他完成推理过程：

解：∠AEP+∠CFP=∠EPF.理由如下：
如图①，过点P作PG∥AB，
则∠AEP=∠EPG（两直线平行，内错角相等）.
∵AB∥CD，
∴PG∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
∴∠CFP=∠FPG（两直线平行，内错角相等）.
又∠EPG+∠FPG=∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）如图②，AB∥CD，请写出∠AEP，∠EPF，∠CFP之间的数量关系，并说明理由.
解：∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.理由如下：
如图②，过点P作PM∥AB，
则∠AEP+∠EPM=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵AB∥CD，
∴PM∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
∴∠CFP+∠FPM=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠AEP+∠EPM+∠FPM+∠CFP=360°,
即∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°. 【教学建议】
学生独立思考完成，教师统一答案.当一组平行线之间（或外部）出现一点分别与平行线上某两点相连，此时构成平行线的一种常见模型.解决此类问题可通过过拐点作其中一条直线的平行线，结合平行公理的推论和平行线的性质得到角的数量关系，反之也可通过角的数量关系得出直线的平行关系.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：平行线的判定和性质的区别是什么？如何综合运用平行线的判定和性质解决相关问题？
【知识结构】

【作业布置】
《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课让学生辨析图形，分析条件，经历由说理到推理的过程，培养学生有条理地思考和表达的能力，加深学生对平行线判定和性质的理解并强化对其综合运用的能力.对于在多组平行线中多次运用平行线的判定与性质的题目，可将过程分解成多个小问，让学生逐步推导并培养学生逆向思维的能力，避免产生畏难情绪.



1.先用判定再用性质：根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键.从角的关系得到两直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆.
例1如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2=180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.
(1)CE与DF平行吗？为什么？
(2)若∠DCE=130°，求∠DEF的度数.
解：(1)CE∥DF.理由如下：
∵∠1＋∠2=180°，∠1＋∠DCE=180°，
∴∠2=∠DCE.∴CE∥DF.
(2)∵CE∥DF，∠DCE=130°，
∴∠CDF=180°-∠DCE=180°-130°=50°.
∵DE平分∠CDF，∴∠CDE= ∠CDF=25°.
∵EF∥AB，∴∠DEF=∠CDE=25°.
2.先用性质再用判定：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
例2如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，CE与BD有怎样的位置关系？说明理由.
解：CE∥BD.理由如下：
∵DF∥AC，∴∠D=∠ABD.
∵∠C=∠D，∴∠ABD=∠C.∴CE∥BD.


3.平行线的判定与性质中的探究型问题.
例3如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF.
(1)判断∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系？


解：(1)∠AED=∠BAE＋∠CDE.理由如下：
如图，过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD.∴∠AEG=∠BAE，∠DEG=∠CDE.
∵∠AED=∠AEG＋∠DEG，∴∠AED=∠BAE＋∠CDE.
(2)同(1)可得∠AFD=∠BAF＋∠CDF.
∵∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF，
∴∠BAE＋∠CDE=∠BAF＋∠CDF= (∠BAF＋∠CDF)= ∠AFD，
∴∠AED = ∠AFD.

例1如图，点E在AB上，点F在CD上，CE，BF分别交AD于点G，H.已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC.
（1）AB与CD平行吗?请说明理由.
（2）若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数.
解：（1）AB∥CD.理由如下：
∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，∠AGE=∠DGC（对顶角相等），
∴∠A=∠D（等量代换）.
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
（2）∵∠2+∠1=180°，∠1=∠AHB（对顶角相等），
∴∠2+∠AHB=180°（等量代换）.
∴CE∥BF（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠B+∠BEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠B=∠AEC（两直线平行，同位角相等）.
∵∠BEC=2∠B+30°，∴∠B+2∠B+30°=180°（等量代换）.
∴∠B=50°.
由（1）可知AB∥CD，∴∠AEC=∠C（两直线平行，内错角相等）.
∴∠C=∠B=50°（等量代换）.
例2问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么推出这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别推出∠BEF=∠B，∠DEF=∠D.
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E=∠EBF，再推出∠ABF=∠D.
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出推理过程；
（2）请按李思同学的思路，写出推理过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，DF平分∠EDC.若∠CED=3∠F，请直接写出∠F的度数.

解：（1）如图②，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴AB∥EF∥CD.∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF.
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.
（2）如图③，过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G.
∵DE∥FG，∴∠EDC=∠BGD，∠DEB=∠EBF.
∵AB∥CG，∴∠BGD=∠ABF.∴∠EDC=∠ABF.
∴∠DEB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABE+∠EDC.
（3）∠F=36°.解析：∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，∴∠AEF=∠CEF，∠CDF=∠EDF.设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，则由（1）中结论可知∠F=x+y.∵∠CED=3∠F，∴∠CED=3x+3y.∵AB∥CD，∴∠BED=∠CDE=2y.∵∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，∴5x+5y=180°.∴x+y=36°.∴∠F=36°.
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