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文件名称： 5.3.2 命题、定理、证明教案
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文件大小： 168.15 KB         整理时间：2024-04-02
文件简介：
5.3.2 命题、定理、证明
教学设计
课题 命题、定理、证明 授课人
素养目标 1.了解命题的概念及命题的构成.
2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假.
3.理解什么是定理和证明，了解证明的意义.
4.了解综合法证明的格式和步骤，通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力.
5.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.
教学重点 证明的步骤和格式.
教学难点 理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
通过对常见句子的分类，引出命题的概念. 【情境导入】
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：
（1）鄱阳湖是中国最大的淡水湖.（判断）
（2）今天的天气很好.（描述）
（3）浪费是可耻的.（判断）
（4）春天到了，花儿开了.（描述）
在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：
（5）画线段AB=3cm.（描述）
（6）两条直线相交，只有一个交点.（判断）
今天我们将对其中表示判断的句子进行学习，感受数学中文字语言的魅力.

【教学建议】
教师可引导学生分析两种句子在构成上的区别，找出能够确认句子类型的关键字.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
通过实例让学生了解命题及其构成. 探究点1 命题及其构成
问题1观察下列语句，回答问题.
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③对顶角相等；
④等式两边加同一个数，结果仍是等式.
（1）它们有什么共同点？
答：上面这些语句，都对某一件事情作出了判断.
概念引入：在数学中，像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
（2）比较问题1中的①②④，它们在结构和内容上有什么共同点？
答：都是分为前后两个部分，前半部分是条件，后半部分是由条件得出的结论. 【教学建议】
学生分组讨论，总结出命题的结构.教师在教学中可对命题解释如下：①必须是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和祈使句都不是命题；②必须对某一件事作出肯定或否定的判断.
教学步骤 师生活动

设计意图
通过分析语句，找出命题的题设和结论并判断命题是否正确.

命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
（3）请指出②③④的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式.
答：②的题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”.可以写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补”.
③的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”.可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
④的题设是“在等式的两边加同一个数”，结论是“结果仍是等式”.可以写成“如果在等式的两边加同一个数，那么结果仍是等式”.
【对应训练】
1.下列语句是命题的是（ C ）
A.连接A，B两点 B.用三角板画∠AOB=30°
C.两点之间，线段最短 D.两直线相交有几个交点？
2.教材P21练习第1题.
探究点2真命题与假命题
问题2观察下列语句，回答问题.
①如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；②同旁内角互补，两直线平行；③相等的两个角是对顶角；④任意两个直角都相等.
（1）上述语句哪些是命题？
答：四个语句都是命题.
（2）指出上述命题的题设和结论.
答：①题设是“两条直线相交”，结论是“它们只有一个交点”；②题设是“两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补”，结论是“这两条直线平行”；③题设是“两个角相等”，结论是“它们是对顶角”；④题设是“两个角是直角”，结论是“它们相等”.
（3）判断上述命题是否正确？如果错误，为什么？
答：①②④正确，③错误，因为相等的两个角只是在数值（角度）上相等，无法确定其位置关系，比如：这两个角可能是角平分线分出的两个角，也可能是一组平行线被第三条直线所截形成的同位角.
概念引入：如果命题的题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
【对应训练】
1.教材P21练习第2题.
2.教材P22练习第2题.

有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，改写的时候需要将其条件补充完整.


【教学建议】
学生独立思考完成前两问，师生共同分析完成第三问.对于真假命题的区别，教师可结合具体实例对照说明：真命题是无一例外，都是正确的；而假命题就不能保证总是正确的，只要举出反例就可以判断一个命题是假命题.
教学步骤 师生活动
设计意图
引入定理和证明的概念，并展示如何证明一个命题为真命题.


探究点3定理与证明
我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
问题3根据定理的概念，同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？
答：平行线的判定定理、性质定理等.（教师可适当补充）
概念引入：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
例1（教材P21例2）我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.
（1）这个命题是真命题还是假命题？
答：真命题.
（2）请将这个命题所叙述的内容用图形表示出来.
解：如图.

（3）写出这个命题的题设和结论，并用几何语言表述.
解：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条.
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.
几何语言：如图，在同一平面内，如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c.
（4）下面已经给出了该命题的已知和求证，请利用已经学过的定义、定理证明这个结论.
如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c.
证明：∵a⊥b(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义).
∵b∥c(已知)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).
∴∠2=∠1=90°(等量代换).
∴a⊥c(垂直的定义).
由此，我们归纳出几何证明的一般步骤：
①根据题意画出图形；
②根据命题的题设和结论，结合图形，写出已知、求证；
③通过分析，找出证明的方法，写出证明过程.
注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.

【对应训练】
1.教材P22练习第1题.
2.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，AB∥CE，求证∠A=∠B.
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠ACE=∠DCE（角平分线的定义）.
∵AB∥CE（已知），
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）.
∴∠A=∠B（等量代换）. 【教学建议】
教师结合所学知识，归纳出定理的概念，学生回顾学过的定理，加深对概念的理解.定理不仅揭示了客观事物的本质属性,还可以将它作为进一步判断其他命题真假的依据.











【教学建议】
在证明几何命题时，要注意以下几点：①明确命题的题设和结论；②依据与过程要对应，不能张冠李戴；③证明过程应符合逻辑顺序，禁止用未学过的定理进行证明.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
探索条件开放性问题的证明. 例2如图，现有以下三个条件：
①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.
请以其中两个为题设，第三个为结论构造新的命题.
（1）请写出所有的命题；（写成“如果……那么……”的形式）
（2）请选择其中的一个真命题进行证明.
解：（1）命题1：如果AB∥CD，∠B=∠D,
那么∠E=∠F；
命题2：如果AB∥CD,∠E=∠F，那么∠B=∠D;
命题3：如果∠B=∠D，∠E=∠F,那么AB∥CD.
（2）选择命题1.（答案不唯一）
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠DCF（两直线平行，同位角相等）.
∵∠B=∠D（已知），
∴∠D=∠DCF（等量代换）.
∴DE∥BF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）.
【对应训练】
如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截.有以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN.请以其中两个作为题设，第三个作为结论，构造命题.
（1）请按照“如果……那么……”的形式，写出所有的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明.
解：（1）命题1：如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM=∠CEN.
命题2：如果AB∥CD，∠BAM=∠CEN，那么AM∥EN.
命题3：如果AM∥EN，∠BAM=∠CEN，那么AB∥CD.
（2）以命题1为例.（答案不唯一）
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BAE=∠CEA（两直线平行，内错角相等）.
∵AM∥EN（已知），
∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）.
∴∠BAE-∠3=∠CEA-∠4（等式的性质），
即∠BAM=∠CEN.
【教学建议】
学生分组讨论完成，教师统一答案.对于此类问题，开放性比较强，所以答案一般不唯一，可用列举法穷举出所有的命题，判断这些命题的真假，选择合适的真命题并按照要求严格证明.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：什么叫做命题？请举例说明,并结合例子说明命题的构成.什么是真命题？什么是假命题？什么是定理？你学过哪些定理？谈谈你对证明的理解.
【作业布置】
1.教材P23习题5.3第6，12，13题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 5.3.2命题、定理、证明
1.命题.
2.命题的构成：如果……（题设），那么……（结论）.
3.真命题与假命题.
4.定理.
5.证明.
教学反思 本节课通过命题、证明的学习，让学生感受到要说明一个命题成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例.同时让学生感受到数学的严谨，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，形成初步的演绎推理能力.



1.对命题的判断：结合命题、真命题、假命题的定义判断.
例1下列句子是命题的是（ D ）
A.画∠AOB=45° B.小于直角的角是锐角吗？
C.连接CD D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例2下列命题中，真命题的个数是（ A ）
①相等的角是对顶角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果x2=y2，那么x=y.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：①相等的角不一定是对顶角，假命题；②同位角不一定相等，假命题；③等角的余角相等，真命题；④如果x2=y2，那么x=±y，假命题.故选A.
2.对命题进行改写：找到命题的题设与结论，然后把命题改写成“如果……那么……”的形式.
例3把命题“直角三角形的两个锐角互余”写成“如果……那么……”的形式为 如果两个锐角是一个直角三角形的两个内角，那么这两个角互余.

例1如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明.
题设：①②，结论： ③ .（均填写序号）
证明：∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC.
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAC.∴∠DAE=∠DEA.（答案不唯一）

例2已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，再选一个事项作为结论（写成“如果……那么……”的形式）.
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例.
解：（1）如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
证明：∵a⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°.
∴∠1=∠2.∴a∥b.
（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b.
反例：如图，a⊥c，b⊥c，但a∥b，a与b不垂直.

三种几何并存
《原本》（也叫做《几何原本》）是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右.欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结，使得《原本》成为用公理法建立演绎的数学体系的最早典范.
《原本》共有13卷，其中：第1卷给出了23个定义，提出了5条公设和5条公理.长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见.有些数学家还注意到23个定义中的最后一个是平行线的定义，而第五公设直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用.为此，数学家们针对“平行线理论”经历了长达两千多年的讨论.
直到1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，勇敢地抛弃了第五公设，提出了完全相反的公设：过一点至少可以有两条直线与已知直线平行.后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”.由罗氏公理很容易推出以下结论：过一条直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行.由于尚未找到新几何在现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基的理论遭到了大部分数学家的反对.直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米找到了一种曲面（人们称之为“伪球面”，如图①），罗巴切夫斯基的理论才开始逐渐被人们所接受.在“伪球面”上，三角形三个内角的和小于180°.
之后，德国数学家黎曼在1854年提出了一种与前两种几何完全不同的几何，叫做“黎曼几何”.黎曼几何认为：在同一平面内，任何两条直线都有公共点（交点），也就是过直线外一点不存在直线和已知直线平行.黎曼几何的模型是球面.在黎曼几何中，三角形三个内角的和大于180°（如图②）.
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何最根本的不同是关于平行公理的认识，这导致了诸多互不相容的结论.虽然如此，这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性(也称不矛盾性)、完备性和独立性.因此这三种几何都是正确的.在我们的日常生活中，欧氏几何是适用的；在宇宙空间或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些.
总之，从逻辑上说，三种几何学有同样的地位.从数学的实现上说，三种几何学都有相应的模型.从现实世界上说，三种几何学各在一定条件下成为现实世界的一种理论的近似.因此，三种几何都是一定条件下的相对真理，并且可以在更高的观点下统一起来.
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