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文件名称： 第1课时 算术平方根教案
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文件大小： 260.02 KB         整理时间：2024-04-06
文件简介：
第1课时算术平方根
教学设计
课题 算术平方根 授课人
素养目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
教学重点 算术平方根的概念.
教学难点 根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
借助实例让学生感受算术平方根的产生是实际生活的需要，也是数学运算的需要. 【情境导入】
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道的速度在什么范围内吗？


这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)，而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s).v1，v2的大小满足v12=gR，v22=2gR，其中g是物理中的一个常数（重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径,R≈6.4×106m.怎样求v1，v2呢？这就要用到算术平方根的概念，也就是本节课的主要学习内容.
【教学建议】
此内容富有感染力，使学生感性认识本章知识的应用价值.对第一、二宇宙速度讲解不宜过多，重在借此公式引出如何求v1，v2的值.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
引导学生通过填表体会求算术平方根的过程，引出算术平方根的概念. 探究点1算术平方根的概念与求算术平方根
（教材P40问题）学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?
解：因为52=25，
所以这个正方形画布的边长应取5dm.
填表并回答问题.

问题1观察上表，从上面到下面对应的是什么运算？从下面到上面又对应的是什么运算？
答：从上面到下面是已知一个正数的平方，求这个正数；从下面到上面是求一个正数的平方，即我们学过的平方运算. 【教学建议】
教师提问，学生作答，使学生理解算术平方根的概念，并学会计算一个数的算术平方根：先找出哪一个正数的平方等于所给的数，再用式子表示即可.注意：①求一个带分数的算术平方根时，要先将其化为假分数，如对应训练T4（5）；
教学步骤 师生活动
设计意图
引导学生总结算术平方根的双重非负性. 问题2这两个运算之间有什么关系？
答：互为逆运算.
概念引入：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.

例1（教材P40例1）求下列各数的算术平方根:
(1)100；(2)；(3)0.0001.
解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10；
(2)因为()2=，所以的算术平方根是，即=；
(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即=0.01.
从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立，即若a>b>0，则a>b.
【对应训练】
1.若x是49的算术平方根，则x等于（ A ）
A.7 B.±7 C.49 D.-49
2.(1)若一个数的算术平方根是，则这个数是13.
（2）①=4，的算术平方根是2；
② =5，的算术平方根是，（-5）2的算术平方根是5.
（3） =6，则x=±6.
（4）算术平方根是其本身的数是0,1.
3.教材P41练习第2题.
4.（教材P41练习第1题及补充）求下列各数的算术平方根：
(1)0.0025；(2)81；(3)32；（4）；(5).
解：(1)因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术平方根是0.05，即=0.05；
(2)因为92=81，所以81的算术平方根是9，即=9；
(3)因为32=9，所以32的算术平方根是3，即=3；
（4）因为()2=，所以的算术平方根是，即=；
（5）因为=，()2=，所以的算术平方根是，即=. ②看清被开方数，如对应训练T2（2）.


教学步骤 师生活动
探究点2 算术平方根的双重非负性
根据上面探究的内容，想一想：
(1)算术平方根中，a可以取任何数吗？（提示：结合教材P40问题进行思考，面积可以为负数吗？）
答：不可以.被开方数a是非负数，即a＞0或a = 0.
(2)是什么数？（提示：结合教材P40问题进行思考，边长可以为负数吗？）
答：是非负数,即＞0或 = 0.
(3)有意义吗？通过（1）（2）（3）你能得出什么结论？
答：没有.结论：非负数的算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.
【对应训练】
已知x，y为有理数，且＋(y-2)2=0，求x-y的值.
解：由题意，得x-1=0，y-2=0，
所以x=1，y=2.
所以x-y=1-2=-1. 【教学建议】
让学生先独立思考，再小组合作，交流探究，启发学生思维，让学生逐步学习，引导学生总结，教师再进行补充讲解，为后面研究平方根做准备，也为以后的二次根式学习埋下伏笔.利用非负性解题的关键点是：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
活动三：重综合训练，提升探究
设计意图
巩固加深对于算术平方根及其非负性的理解. 例2已知与互为相反数，求ab的算术平方根.
解：根据题意，得1-3a=0，b-108=0，
所以a=，b=108，所以ab=×108=36.
因为62=36，所以ab的算术平方根是6.
【对应训练】
若|x+1|+y-8=0，求2y+x的算术平方根.
解：由|x+1|+y-8=0，可知x+1=0，y-8=0，
所以x=-1，y=8，所以2y+x=16-1=15.
故2y+x的算术平方根是. 【教学建议】
学生自主探究，对于此类算术平方根综合其非负性类型题目进行练习巩固，加深理解，也有利于为以后学习二次根式的性质打下坚实的基础.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是算术平方根？如何求一个正数的算术平方根？什么数才有算术平方根？
【知识结构】

【作业布置】
1.教材P47习题6.1第1，2，11题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 6.1平方根
第1课时算术平方根
1.概念：若x2=a(x为非负数),则x叫做a的算术平方根.
2.表示：a的算术平方根用a表示,即x=a.
3.性质：（1）算术平方根的“双重非负性”；
（2）正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
教学反思 本节课从宇宙飞船的实例引入，激发学生学习的积极性，再从学生熟知的正方形的边长与面积的关系入手，揭示问题本质：它们都是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，进而从具体到抽象地给出算术平方根的概念，再从概念的本质入手，引导学生分析算术平方根的双重非负性，最后通过例题和练习题进一步巩固所学知识，达到教学目标.



算术平方根的性质归纳：
①算术平方根的双重非负性：算术平方根本身是非负数，算术平方根的被开方数也是非负数.
拓展：非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数均等于0.即若++…+=0，则a=b=…=m=0.
②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身.即()2=a.
③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，再根据这个数的正负去绝对值符号.即=a.
例1 的算术平方根是（ B ）
A.9 B.3 C.±9 D.±3
分析：利用算术平方根的概念解答即可，注意看清被开方数是，而不是81.
解析：因为=9，9的算术平方根为3，所以的算术平方根是3.故选B.
例2若+=0，则x+2y的值为（ A ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
分析：根据算术平方根的非负性可知被开方数必须为非负数，由此得到x-1=0，x+y=0，分别求出x,y的值，然后代入所要求值的式子即可得出结果.
解析：因为+=0，所以x-1=0，x+y=0，所以x=1,y=-1,所以x+2y=-1.故选A.
例3计算：=3，=0.7，=0，=6，-=.
(1)根据计算结果，回答一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算： .
解：(1) 不一定等于a, =|a|.
(2)原式=|3.14-π| = π-3.14.

例1已知=x，=2，z是9的算术平方根，求2x+y-z的算术平方根.
解：因为=x，所以x=5.因为=2，所以y=4.因为z是9的算术平方根，所以z=3.
所以2x+y-z=2×5+4-3=11，所以2x+y-z的算术平方根是11.
例2小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2)
（1）如图①，S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为；
如图②，S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为；
如图③，S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的边长为.
（2）若将（1）中的图③沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长、宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由.

分析：（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的概念进行计算即可；
（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可.
解：（1）解析：当S1=1，S2=1时，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；
当S1=1，S2=4时，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；
当S1=1，S2=16时，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为.
（2）不能.理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x·3x=14.52，所以x2=1.21，即x=1.1(x>0).
因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3.
因为(4.4)2=19.36>17，所以4.4＞，所以不能沿正方形A3B3C3D3边的方向剪出一个面积为14.52且长、宽之比为4∶3的长方形.
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