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文件名称： 第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根教案
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文件大小： 245.45 KB         整理时间：2024-04-06
文件简介：
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
教学设计
课题 用计算器求一个正数的算术平方根 授课人
素养目标 1.会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.
3.体验无限不循环小数的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.
教学重点 夹逼法及估计一个（无理）数的大小以及简单的运算.
教学难点 夹逼法及估计一个（无理）数的大小的思想.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：动手操作，新知导入
设计意图
引导学生对的大小进行思考，为后续引入无限不循环小数的概念做铺垫. 【实践导入】
（教材P41上方的探究）能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形?



如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗?
答：设大正方形的边长为x dm，则x2=2.由算术平方根的意义可知x=2，所以大正方形的边长是2 dm.
小正方形的对角线的长是多少呢？有多大呢？ 【教学建议】
由大正方形的面积为2及算术平方根的概念引出大小的估算，自然过渡到本课时内容.
活动二：方法引入，探究新知
设计意图
引入无限不循环小数的概念，引导学生经历“夹逼法”估算无限不循环小数的过程. 探究点1通过夹逼法确定无限不循环小数的大小——估算的大小
（教材P41下方的探究）通过夹逼法确定的大小，先定大范围，然后逐步缩小：


【教学建议】
培养学生的估算能力，感受“夹逼法”，发展抽象思维，了解无限不循环小数的特征.在学生熟悉教材以后，可以试着让学生模仿教材估计或等无限不循环小数的近似值，不仅渗透类比思想，还能培养学生学以致用的能力.
教学步骤 师生活动
设计意图
引导学生使用计算器计算算术平方根，并探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律. 通过上述步骤，可以得到更精确的近似值，请问从中你发现了什么问题吗？
答：无法得到的准确值，只能得到近似值.
概念引入：事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数).
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循小数.
问题：你以前见过无限不循环小数吗？请举例说明.
答：见过.如π（圆周率）.
【对应训练】
1.估计的值在（ B ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
2.已知a，b是两个连续整数，且a<
探究点2利用计算器计算一个正数的算术平方根
1.利用计算器计算一个正数的算术平方根
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
例1（教材P42例2）用计算器求下列各式的值:
(1)；(2)(精确到0.001).
解：(1)依次按键3136，显示：56，所以=56.
(2)依次按键2，显示：1.414213562，所以≈1.414（注：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同.）
问题1上面（1）（2）小题中的结果各有什么特点？
答：（1）中结果是一个准确数（整数）；（2）中结果是一个近似数（小数）.
问题2计算器上面显示的数是的近似值.
下面我们来看教材P39引言中提出的问题：
由v12=gR，v22=2gR，得v1=，v2=，其中g≈9.8，R≈6.4×106.
用计算器求v1和v2(用科学记数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位，得v1≈≈7.9×103，v2≈≈1.1×104.
因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度v2大约是1.1×104m/s.

2.利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律


【教学建议】
通过用计算器求算术平方根，使学生进一步体会无限不循环小数的现实性和存在性，发展数感.结合教材P43探究，学生利用计算器进行计算，小组讨论结果并展示，然后教师纠正总结.有针对性地练习被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律，强化学生记忆，通过训练突破本课时难点.
教学步骤 师生活动

设计意图
引导学生经历运用估算从而比较其中带根号的两个数的大小的过程. （教材P43探究）（1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中,你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？

答：从运算结果可以发现，被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.
（2）用计算器计算(精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说出,,的近似值,你能根据的值说出是多少吗？
答：由≈1.732，得≈0.1732，≈17.32，≈173.2.根据的值不能说出是多少.因为规律是被开方数扩大100倍（或缩小到原来的)时，它的算术平方根才扩大10倍(或缩小到原来的)，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出.
【对应训练】
1.教材P44练习第1题.
2.（1）已知≈1.164，则≈11.64，116.42≈13540；
（2）若≈10.1，≈3.19，则≈1.01；
（3）已知≈44.9778,≈14.2232,则-≈-4.50(精确到0.01).
探究点3利用估算比较大小
例2（教材P43例3）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长、宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

问题1求长方形纸片的长.
解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm.根据边长与面积的关系得
3x·2x=300，6x2=300，x2=50，x=.
因此长方形纸片的长为3cm.(3就是3×)
因为50＞49，所以＞7.
问题2这里是利用什么来比较大小的？
这里利用的是与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，依据是“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”.
由上可知3＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm.
问题3根据结果作出判断.
因为400=20，所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
教师补充：我们知道3就是3×，根据乘法的意义可知即为3个50相加；而21=3×7，即3个7相加，根据经验容易得出3＞21，这里不需利用不等式进行严格证明.
【对应训练】
教材P44练习第2题.

【教学建议】
教师结合教材P43例3进行讲述，使学生了解并学会运用估算进行数的比较，增强估算能力，发展符号意识，加入背景材料可使学生感受到估算能力是生活中需要的一种能力.
活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你可以用“夹逼法”估算一个正数的算术平方根的近似值吗？你可以利用计算器求出任意正数的算术平方根的近似值吗？被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的？你能利用估算来对两个含根号的数进行大小比较吗？
【作业布置】
1.教材P47习题6.1第5，6，12题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 6.1平方根
第2课时用计算器求一个正数的算术平方根
1.用“夹逼法”估算一个正数的算术平方根.
2.利用计算器求一个正数的算术平方根.
3.探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律.
4.对带根号的数进行估算比较大小.
教学反思 本节课在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法，让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值.



对带根号的数进行估算比较大小
比较含有算术平方根的两个数的大小时应遵循两个原则：(1)被开方数越大，对应的算术平方根也越大；(2)估算的近似值越大，原数也越大.
例 比较下列各组数的大小：
(1)与9；(2) 与；(3)- +1与-.
解：(1)因为92=81，所以=9.因为82＞81，所以＞，即82＞9.
(2)因为1<<2，所以0<-1<1，所以<.
(3)- +1≈-2.236+1=-1.236，-≈-1.414÷2=-0.707.因为-1.236<-0.707，所以-+1<-.

例 在一次活动课中，元元同学用一根绳子围成一个长、宽之比为3∶1，面积为75cm2的长方形（如图①）.
（1）求长方形的长和宽；
（2）元元用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积.她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm.”请你判断元元的说法是否正确，并说明理由.

解：（1）设长方形的长为3xcm，宽为xcm.
根据边长与面积的关系得3x·x=75，即x2=25.
由算术平方根的意义可知x=5.
因此长方形的长为15cm，宽为5cm.
（2）元元的说法正确.理由：
由正方形的面积为75cm2易知，正方形的边长为cm.
则正方形的边长与长方形的宽之差为（-5）cm.
因为64＜75＜81，
所以＜＜，即8＜＜9.
所以3＜-5＜4.
故元元的说法正确.
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