|
第3课时 平方根
教学设计
课题 平方根 授课人
素养目标 1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.
3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重点 平方根和算术平方根的联系与区别.
教学难点 平方根的概念和求数的平方根.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，提出问题
设计意图
通过复习算术平方根，为本节课学习平方根做铺垫. 【回顾导入】
1.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
2.填空：（1）22=4,(-2)2=4；
（2）0.82=0.64,(-0.8)2=0.64.
3.想一想：3的平方等于9，3叫做9的算术平方根.-3的平方也等于9，那么-3叫做9的什么根呢？ 【教学建议】
由复习算术平方根开始，通过问题引入新课，已有知识自然过渡到新知识，达到温故知新的效果.
活动二：问题引入，探究新知
设计意图
通过阅读课本、填表，引出平方根的概念，并根据平方的意义求出平方根. 探究点1平方根的概念和计算
（1）填表：
（2）如果我们把上述填表的x的值分别叫做1，16，36，49，的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
答：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，±3是9的平方根.
（3）我们把求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.观察下图，你发现了什么？
答：平方与开平方互为逆运算.
【教学建议】
教师引导学生作答，使学生经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的概念的过程，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，培养学生以逆向思维解决问题的习惯.求一个正数的平方根的过程一般分为两步：（1）找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；（2）根据平方根的概念写出这个正数的平方根.
教学步骤 师生活动
设计意图
用“由特殊到一般”的数学思想归纳出平方根的性质.
设计意图
对比记忆，防止混淆，使学生体会分类思想，分清平方根与算术平方根. （4）（教材P45例4）根据上图这种互逆关系，求下列各数的平方根：
(1)100；(2)；(3)0.25.
解：(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10；
(2)因为(±)2=，所以的平方根是±；
(3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
【对应训练】
1~2.教材P46练习第1~2题.
3.求下列各数的平方根：
（1）64；（2）0.09;（3）;（4）(-7)2.
解：（1）因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8；
（2）因为(±0.3)2=0.09,所以0.09的平方根是±0.3；
（3）因为(±2=,所以的平方根是±;
（4）因为（±7)2=(-7)2=49,所以(-7)2的平方根是±7.
探究点2平方根的性质
（教材P45思考）让我们一起观察探究点1中的图，想一想：
（1）1,4，9的平方根分别是多少？正数的平方根有什么特点？
答：1，4，9的平方根分别是±1，±2，±3.正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
（2）0有几个平方根？各是多少？为什么？
答：0只有一个平方根，是0.因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
（3）-1,-4，-9有平方根吗？为什么？
答：没有.正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根.
归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【对应训练】
1.已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，则a=2.
2.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，求这个非负数.
解：①若3x-2和5x+6相同，则3x-2=5x+6，解得x=-4，此时3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，则它们互为相反数，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此时3x-2=-3.5，（-3.5）2=12.25.
综上可知，这个非负数是196或12.25.
【教学建议】
教师提问，学生作答，由学生归纳出平方根的性质，教师总结、订正.解题时注意：已知一个数的两个平方根，根据两个平方根互为相反数列方程求解；如果题目只是叙述两个数均为一个数的平方根，则需要分相等和相反两种情况进行讨论.
教学步骤 师生活动
探究点3平方根与算术平方根的关系
问题1我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？
答：我们知道，正数a的算术平方根可以用a表示；正数a的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数a的平方根可以用符号“±”表示，读作“正、负根号a”.例如，±=±3，±=±5.
问题2符号只有当a≥0时有意义，a<0时无意义，你知道为什么吗？
答：因为在我们所认识的数中任何一个数的平方都不会是负数，所以负数不能开平方，即当a<0时，a无意义.
问题3说一说算术平方根与平方根之间的区别与联系.
例1（教材P46例5）求下列各式的值：
(1)；(2)-；(3) ±.
解：(1)因为62=36，所以=6；
(2)因为0.92=0.81，所以-=-0.9；
(3)因为()2=，所以±= ±.
问题4知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根.为什么？
答：因为一个数的负的平方根等于它的算术平方根的相反数.
【对应训练】
1.下列计算错误的是（ A ）
A. = ±2 B. = 3 C.± = ±4 D.- = -5
2~3.教材P47练习第3~4题. 【教学建议】
教师引导,由学生归纳平方根与算术平方根的联系和区别.对于含根号的式子，计算时注意：（1）分清类型，是求平方根，还是求算术平方根，或者是求负的平方根；（2）学会转化，被开方数是小数的化为分数，是带分数的化为假分数.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
根据平方根的意义解方程及对平方根和算术平方根的综合类题目强化训练. 例2求下列各式中x的值：
(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.
解:(1)原式可变形为x2=16.因为(±4)2=16，所以x=4或x=-4.
(2)因为(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，解方程，得x=1或x=-3.所以x=1或x=-3.
(3)原式可变形为(x-1)2=9.因为(±3)2=9，所以x-1=3或x-1=-3，解方程，得x=4或x=-2.所以x=4或x=-2.
例3已知2a-1的平方根为±，3a-2b的算术平方根为2，求4a-b+2的平方根.
解：因为2a-1的平方根为±，所以2a-1=3，解得a=2.
因为3a-2b的算术平方根为2，所以3a-2b=4,所以6-2b=4,解得b=1.
所以4a-b+2=9.
因为9的平方根为±3，所以4a-b+2的平方根为±3.
【对应训练】
1.求下列各式中x的值：
（1）4x2-1=0；（2）（x+1）2=81；（3）（2x-3）2-64=0.
解：（1）原式可变形为x2=.
因为(±)2=
所以x=或x=-.
(2)因为(±9)2=81,所以x+1=9或x+1=-9,
解方程，得x=8或x=-10.
所以x=8或x=-10.
(3)原式可变形为(2x-3)2=64.
因为(±8)2=64,所以2x-3=8或2x-3=-8，
解方程，得x =或x = -.
所以x = 或x = -.
2.一个数的算术平方根为2a-6，平方根为±(a-1)，求a的值与这个数.
解：分两种情况：①当2a-6 = a-1时，可得a=5，此时2a-6=4，42=16；
②当2a-6 = -（a-1）时，可得a =，此时2a-6 = -，不符合题意，此种情况不存在.
所以a的值为5，这个数为16. 【教学建议】
拓展提升，进一步巩固学生对平方根概念的理解，并灵活应用于解方程中.求类似于a（mx+b）2-c=0中x的值时，一般将其变形，利用整体思想将mx+b作为一个整体，再利用平方根的意义转化为一元一次方程，从而求出x的值.在解决平方根与算术平方根的综合类型题目时，注意一定不要混淆概念，始终明确一个数的算术平方根是它的正的平方根，有时需利用算术平方根的非负性对结果进行检验.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】随堂训练见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么叫做一个数的平方根？平方根具有哪些性质？正数a的平方根怎样表示？算术平方根怎样表示？负的平方根怎样表示？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P47习题6.1第3,4,7,8,9,10题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 6.1平方根
第3课时平方根
1.平方根的概念.
2.求一个正数的平方根的运算——开平方.
3.平方根的性质及其应用：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
4.平方根与算术平方根的区别与联系.
教学反思 本节课借助算术平方根的知识得出平方根的知识，渗透“类比思想”，通过大量实例让学生体会平方根的概念及其性质，渗透“具体—抽象—具体”的研究思路.结合学过的运算理解“开平方”的新运算，使学生的学习形成迁移.借助例题和课堂练习巩固新知，提高学生的学习能力.
已知一个数的平方根，求原数的方法：
需要根据题目的叙述进行判断，当题目中有类似“A和B是一个正数的两个平方根”或“一个正数的平方根分别是A和B”这样的描述时，则根据平方根的性质知A+B=0，直接列出方程求未知数，再进一步求得原数；当题目中有类似“A和B是一个正数的平方根”这样的描述时，则除了A+B=0，还需考虑A=B的情况，需分别列方程求出未知数.
例1若2m-4与3m-1是一个正数的两个平方根，则这个正数为（ B ）
A.1 B.4 C.±1 D.±4
解析：由题意可知2m-4+3m-1=0，所以m=1，所以2m-4=-2，所以这个正数为4.故选B.例2已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a与m的值.
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a-1与5-2a是同一个平方根时，a-1=5-2a，解得a=2.此时m=（2-1）2=1；
②当a-1与5-2a是两个平方根时，a-1+5-2a=0，解得a=4.此时m=(4-1)2=9.
综上所述，a=2，m=1或a=4，m=9.
例1已知5x-1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，求4x-2y的算术平方根.
解：因为5x-1的平方根是±3，4x+2y+1的平方根是±1，
所以5x-1=9，4x+2y+1=1，所以x=2,y=-4.
所以4x-2y=16，所以4x-2y的算术平方根为4.
例2已知a，b，c满足b =-+4，c的平方根等于它本身.求a+的平方根.
解：因为-(a-3)2≥0，所以a=3.
把a = 3代入b = + 4，得b = 4.
因为c的平方根等于它本身，所以c = 0.
所以a + =3+=5，所以a+的平方根为±.
增乘开方法
增乘开方法是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的.那么古人又是如何求一个数的算术平方根的呢？下面以求55 225的算术平方根为例进行说明.
1.由于55 225是一个五位数，因此我们估算商（即算术平方根）应当是一个三位数，并且由于万位上的数是5，所以估计商的百位数是2.
2.令借为1，法的值则为借乘商（1×2），如图①.
3.更新实，使之为原实减去商乘法（5-2×2=1），则新实为1，如图②.
4.更新法为商乘借加到旧法上（2+2×1=4），如图③.
5.将法后移一位，借后移两位，如图④.
然后重复上面1~5的步骤：
1.估算商的十位为3（3×4000=12000＜15225）.
2.更新法为原法加上十位商乘借（4000+3×100=4300），如图⑤.
3.更新实，使之为原实减去十位商乘法（15225-3×4300=2325），则新实为2325，如图⑥.
4.更新法为十位商乘借加到旧法上（43+3×1=46）.
5.将法后移一位，借后移两位，如图⑦.
再重复上面的1~3的步骤，得到图⑧，此时更新后的实为0（2325-465×5=0）.
由此我们得出，55 225的算术平方根为235.
|
