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文件名称： 6.2 立方根教案
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文件大小： 335.81 KB         整理时间：2024-04-06
文件简介：
6.2 立方根
教学设计
课题 立方根 授课人
素养目标 1.了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根.
2.了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.
教学重点 了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根.
教学难点 了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，提出问题
设计意图
通过复习平方根，为引入立方根的概念进行铺垫. 【回顾导入】
1.一般地，如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
3.填空：(1)0.13=0.001，33=27，(-3)3=-27；
(2)0.13=0.001，33=27，（-3）3=-27.
4.想一想：2的平方等于4，2叫做4的一个平方根.2的立方等于8，那么2叫做8的什么根呢？ 【教学建议】
教师引导学生作答，启发学生思考.采用类比学习的方法使学生对于立方根有一个初步感知，利于学生快速进入后续的学习.
活动二：问题引入，探究新知
设计意图
结合教材，由实际问题进行过渡，引入立方根的概念，并引导学生归纳立方根的性质. 探究点1立方根的概念及性质
问题（教材P49问题）要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
解：设这种包装箱的棱长为x m，则x3 = 27.
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
因为33 = 27，所以x = 3.
因此这种包装箱的棱长应为3 m.
（1）结合“活动一”中平方根的概念，类比来看，我们如何定义立方根？
答：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
因为33=27，所以3是27的立方根.
（2）同样地，你能类比开平方的概念说说什么是开立方吗？
答：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
（3）类比开平方与平方，开立方与立方也互为逆运算.
探究（教材P49探究）根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为23 = 8，所以8的立方根是( 2 )；
因为(0.4)3 = 0.064，所以0.064的立方根是( 0.4 )；
因为（0)3=0，所以0的立方根是 ( 0 )；
因为 (-2)3 = -8，所以 -8的立方根是 ( -2 )； 【教学建议】
学生分组讨论，自行归纳，再由教师汇总整理，对不全面的地方加以补充.在学生类比学习的过程中，培养学生自行解决问题的能力和意识.教师注意强调：①任何数都有且只有一个立方根，且符号与原数相同.②立方根等于本身的数有0，±1.③在求解立方根时，如果被开方数是带分数，应先将其化为假分数；
教学步骤 师生活动
因为(-)3=-，所以-的立方根是( -).
归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.

例如，表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2.3a中的根指数3不能省略.（注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2.因此，也可读作“二次根号a”）
你能说说数的平方根与数的立方根有什么区别和联系吗？
平方根与立方根的区别与联系：

例1求下列各数的立方根：
（1）-216；(2);(3)133;(4)-0.008.
解：（1）因为（-6）3=-216，所以-216的立方根是-6；
（2）因为()3=，所以的立方根是；
（3）133的立方根是13；
（4）因为（-0.2）3=-0.008，所以-0.008的立方根是-0.2.
【对应训练】
1.若a-1的立方根是5，则a=126.
2.的立方根是2. 如果是一个算式，应先计算出结果再进行开立方运算.在计算时尤其要注意结果的符号.


教学步骤 师生活动




设计意图
探索被开方数互为相反数的立方根之间的关系.



设计意图
用计算器求立方根并寻找规律，强化学生使用计算器的能力，并加深对于立方根的理解. 3.下列说法中正确的是（ C ）
A.负数没有立方根
B.8的立方根是±2
C.任意有理数有且只有一个立方根
D.立方根等于本身的数只有±1
4.教材P51练习第4题.
探究点2互为相反数的两个数的立方根之间的关系
探究（教材P50探究）
因为= -2，-= -2，所以= -；
因为= -3，-= -3，所以= -.
归纳：一般地， = -.
拓展：（）3 = a， = a.
例2（教材P50例题）求下列各式的值：
(1)；(2)；(3).
解：(1)= 4；(2)=；(3)= .
【对应训练】
1.下列式子正确的是（ C ）
A. = ± B.= 11
C. = D. =
2.教材P51练习第1题.
探究点3用计算器求立方根及其探究规律
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).
例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行：依次按键31845，显示：12.26494081.这样就得到的近似值12.26494081.
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求，可以依次按键1845，显示：12.26494081.
探究（教材P51探究）用计算器计算…，，，，，…，你能发现什么规律？用计算器计算(精确到0.001)，并利用你发现的规律求，，的近似值.
解：列表如下：

发现规律：被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位.
用计算器计算：≈4.642.
根据上面发现的规律，可得：
≈0.4642，≈0.04642，≈46.42.
【对应训练】
1~2.教材P51练习第2~3题. 【教学建议】
教师引导学生作答，培养学生归纳总结的能力.归纳如下：①开立方时被开方数的负号可以移到根号外，结果不变；②“先开立方，再立方”与“先立方,再开立方”结果相同，都等于原数.







【教学建议】
教师指导学生利用计算器进行计算，小组讨论结果并展示，然后教师纠正总结.有针对性地练习被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律，亦可对照算术平方根的相应课时类比学习，突破教学难点.
活动三：综合训练，提升探究
设计意图
融合算术平方根、平方根及立方根，进行综合训练. 例3已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根.
解：因为x-2的平方根是±2，所以x-2=4，所以x=6.因为2x+y+7的立方根是3，所以2x+y+7=27.把x=6代入，得12+y+7=27,解得y=8.
所以x2+y2=62+82=100，所以x2+y2的算术平方根为10.
【对应训练】
已知y的立方根是2,2x-y是16的算术平方根，求：
(1)x,y的值；(2)x2+y2的平方根.
解：(1)由于y的立方根是2,2x-y是16的算术平方根，
所以y=23=8,2x-y=4,所以x=6.
(2)由(1)知x=6,y=8,所以x2+y2=62+82=100,
所以x2+y2的平方根为±=±10. 【教学建议】
学生独立作答，将之前学过的知识与本节课所学汇总出题，检验学生对概念的掌握程度、理解能力与运用能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】随堂训练见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是立方根？立方根有哪些性质？立方根与平方根之间有哪些区别和联系？你会利用计算器求任意数的立方根吗？被开方数扩大（或缩小）与它的立方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
【知识结构】

【作业布置】
1.教材P51习题6.2全部题目.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 6.2立方根
1.立方根的概念及开立方.
2.立方根的性质：
（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；
（2）=，()3== a.
3.用计算器求立方根.
4.被开方数的小数点与其立方根的小数点的移动规律：同向移动，“三位对应一位”.
教学反思 本课时的教学要突出体现“创设情境—提出问题—建立模型—解决问题”的思路，提倡学生采用自主探索学习的方式，类比平方根的知识学习立方根的知识，既能巩固之前所学，又能加深对新知识的理解，使其更容易掌握.



1.用估算法比较含三次根号的数的大小：
①采用估算法进行数的大小比较时，利用的是“被开方数越大，对应的立方根越大”的性质，这与算术平方根的性质类似，其原理都是利用“夹逼法”进行估算；②比较大小时也可直接使用计算器求近似值，再进行比较；③求负数的立方根时，也可根据立方根的性质，计算其相反数的立方根，再在结果前加上负号.
例1比较大小：-2与.
解：因为（-2）3=-23=-8，()3 =-7，而-8 < -7，所以-2<.
2.利用立方根的概念解方程的步骤：
(1)把原方程化为x3=m或(ax+b)3=m的形式；(2)利用立方根的概念，直接开立方求出x的值或将方程变为一元一次方程；(3)解所得的一元一次方程，求出x的值.
例2求下列各式中x的值：
（1）27x3-216=0；（2）64（x-2）3-1=0.
解：（1）27x3-216=0,27x3=216,x3=8,x=2.
（2）64（x-2）3-1=0，64（x-2）3=1，（x-2）3=，x-2=，x=.
3.利用=解决问题
互为相反数的两数的立方根互为相反数.如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.
例3对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成是a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”.
(1)试举一个符合上述结论的例子；
(2)若与的值互为相反数，求1-的值.
解：(1)答案不唯一.如+=2+(-2)=0，8与-8互为相反数.
(2)根据题意，得(3-2x)+(x+5)=0，解得x=8，所以1-=1-=1-4=-3.

例1要制造一个高与底面直径相等的圆柱形储油罐，储油罐的设计容积为5m3，这个储油罐的底面半径应是多少？(用计算器计算，π取3，结果精确到0.01m)
解：设这个储油罐的底面半径应是x m.
由题意，得π·x2·2x=5.π取3，可得x3=，用计算器算得x=≈0.94.
答：这个储油罐的底面半径约是0.94 m.
例2已知≈1.038，≈2.237，≈4.820，求下列各式的值：
(1) ；(2) .
解：（1）1120是1.12的小数点向右移动3位后的数，故它的立方根可由1.12的立方根的小数点相应地向右移动1位得到，即≈10.38.
（2）0.112是112的小数点向左移动3位后的数，故它的立方根可由112的立方根的小数点相应地向左移动1位得到，即=≈-0.482.

循环小数如何化为分数呢?
1.纯循环小数
每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个9;分子则是一个循环节的数.如

2.混循环小数
每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个9,不循环的部分有几位数字，分母中9的后面就有几个0;分子则是第一个循环节及它前面的数减去不循环部分.如
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