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7.1.2平面直角坐标系
教学设计
课题 平面直角坐标系 授课人
素养目标 1.认识平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴和象限.
2.能正确画出平面直角坐标系，经历由点写出坐标、由坐标描点，体会数形结合的思想.
教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标、由坐标描点.
教学难点 平面内点的坐标的有序性.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，引入新知
设计意图
提出问题引导学生回顾旧知，为引入平面直角坐标系做铺垫. 【回顾导入】
（1）在平面内，确定物体的位置一般需要几个数据?有哪些方法?
答：在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据.常用的方法：用有序数对来确定，如：(排，列),(组，排),(排，号),(角度，距离),(纬度，经度)等.
（2）什么是数轴?
答：规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴.
（3）如图，数轴上的点A表示数1.反过来，数1就是点A的位置.我们说数1是点A在数轴上的坐标.同理可知，点B在数轴上的坐标是-3;点C在数轴上的坐标是2.5;点D在数轴上的坐标是0.
（4）数轴上的点与实数之间存在着一一对应的关系. 【教学建议】
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
通过与数轴类比的实例进行引入，在此基础上抽象出平面直角坐标系的概念. 探究点1平面直角坐标系
问题1（教材P66思考）类似于上面利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢(请以图①中的点A为例说明)？
答：如图①，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
【教学建议】
教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流，教师最后进行总结并引入平面直角坐标系的概念.注意引导学生学会利用有序数对表示出点的坐标.通过与数轴类比可以更好地理解点与坐标的对应关系，从而实现一维到二维的过渡.
教学步骤 师生活动
设计意图
使学生进一步了解平面直角坐标系，加深理解. 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.如图②，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫做点A的坐标，记作A(3，4).
问题2结合图②和上面的知识，请你写出点B，C，D的坐标.
答：B（-3，-4），C（0,2），D（0，-3）.
【对应训练】
1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是（ D ）
2.教材P68练习第1题.
探究点2平面直角坐标系中的点的坐标特征
问题1（教材P67思考）原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？
答：原点O的坐标为(0，0)；x轴上的点的纵坐标为0，例如(1，0)，(-1，0)，…；y轴上的点的横坐标为0，例如(0，1)，(0，-1)，….如图①，A(3，0)，B(-2，0)，C(0，2)，D(0，-3).
概念引入：建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限（如图②），分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.
问题2各部分及坐标轴上的点的坐标有什么特点？
注意强调平面直角坐标系的画法规则.
【教学建议】
教师引导学生思考，教师对于回答不完善的地方予以补充，注意引导学生学会画出用坐标表示的点的位置，对于各象限的点的坐标特点有清晰的了解.注意强调表示坐标时横、纵坐标顺序不可颠倒，及位于坐标轴上的点不属于任何象限.
教学步骤 师生活动
设计意图
使学生直观体会建立不同的平面坐标系，则图形中点的坐标会发生变化. 注意：坐标轴上的点不属于任何象限.
例（教材P67例题）在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，B(-2，3)，C(-4，-1)，D(2.5，-2)，E(0，-4).
解：如图①，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A.类似地，可在图上描出点B，C，D，E.
归纳总结：我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的.我们还可以得出：如图②，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
拓展：平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值.
【对应训练】
1.教材P68练习第2题.
2.已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是B
A(2，-1)B(1，-2)C(-2，-1)D(1，2)
3.（1）如果点M(-5,2+b)在x轴上，则b=-2；
（2）如果点N(a-3,2a)在y轴上，则点N的坐标是（0，6）；
（3）平面直角坐标系中有点M(a，b).
①当a>0，b<0时，点M位于第几象限？
②当ab>0时，点M位于第几象限？
③当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？
解：①点M位于第四象限；②可能位于第一象限(a>0，b>0)或者第三象限(a<0，b<0)；③可能位于第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上.
探究点3以图形顶点为原点建立不同的平面直角坐标系
（教材P68探究）（1）如图①，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么y轴是哪条线？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.
答：y轴是AD所在直线，A（0,0），B（6,0），C（6,6），D（0,6）.
（2）请在图②中另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是多少？与同学们交流一下.
答：如图②，以点B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，A（-6,0），B（0,0），C（0,6），D（-6,6）.（答案不唯一）
【教学建议】
教师尽量列举更多可能情况，也可引导学生自行作图进行描述，发展学生数形结合思想，加深对于平面直角坐标系中的点的坐标特征的理解，体会建立不同的平面直角坐标系则点的坐标会有所不同.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
巩固学生对于平面直角坐标系的认识，能根据点的坐标的描述准确找到点的位置，并描述图形的形状. 例 在平面直角坐标系中，描出下列各点：
点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度；点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度.依次连接这些点，你能得到什么图形?并写出这些点的坐标.
解：如图，得到一个类似于字母“W”的图形.
A(0,2),B(1,0),C(2,2),D(3，0),E(4,2).
【对应训练】
在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来.
①(2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6），（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；
②（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
③（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
④（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
⑤（3，3）.
像什么图形？
解：如图，像一个猫脸. 【教学建议】
学生自主作答，锻炼学生根据点的坐标的描述准确画出点的能力，熟练掌握各个象限的点的坐标特征.当需要描述图形形状时，可根据个人理解自行描述，答案可以是多样化的，只要符合即可.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】随堂训练见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是平面直角坐标系？在坐标平面内如何求一个点的坐标？已知点的坐标，如何在坐标平面内描出这个点？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P69习题7.1第2,3,4,5,6,7,9,10题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课通过类比数轴表示点的方法，让学生认识平面直角坐标系，在概念及由点确定坐标的基础上，进一步探究了点的坐标特点.本节课主要以问题为载体，概念方面不要死记硬背，要留给学生充足的探索思考时间，自己描点寻找规律，让学生大胆发言，总结规律，从而提高学生的“数感”，充分体现新课标提出的“以学生为主体”的教学理念.
1.对平面直角坐标系中点的坐标概念的理解
平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作P(a,b)，如图.
我们可以这么理解：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开.
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y)，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
例1（1）若点(5-a，a-3)在第一、第三象限的角平分线上，求a的值；
（2）点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求点P的坐标.
分析：（1）第一、第三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；（2）这样的点P有多个.
解：(1)因为点(5-a，a-3)在第一、第三象限的角平分线上，所以5-a=a-3，所以a=4.
(2)设点P的坐标为(x，y)，由已知条件得|y|=3，|x|=4，所以y=±3，x=±4，
所以点P的坐标为(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3).
2.平面直角坐标系中的基本图形
（1）平行于坐标轴的直线
①直线平行于x轴直线上的点的纵坐标都相同；
②直线平行于y轴直线上的点的横坐标都相同.
我们来看下面一道例题：
例2已知两点A(-3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围.
分析：与x轴平行的直线上的点的纵坐标都相等.
解：因为AB∥x轴，所以m=4.因为A，B两点不重合，所以n≠-3.
（2）平面直角坐标系中图形面积的求法
①有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积：作在坐标轴上或平行于坐标轴的边上的高，结合三角形的面积公式求面积.
②其他不规则图形面积：“宽高法”，即作“横平竖直”的线，利用“割补”分块求面积.
例3如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(8,0)，C(8,6)三点.
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P(m,1)，且四边形ABOP的面积是三角形ABC的面积的两倍，求满足条件的点P的坐标.
分析：（1）由点的坐标得出BC∥y轴，BC=6，即可求出三角形ABC的面积；
（2）求出OA=4，OB=8，由S四边形ABOP=S三角形AOB+S三角形AOP和已知条件得出方程，解方程即可.
解：（1）因为B(8,0)，C(8,6)，所以BC∥y轴，BC=6，所以S三角形ABC=×6×8=24.
（2）因为A(0,4)，B(8,0)，所以OA=4，OB=8，所以S四边形ABOP=S三角形AOB+S三角形AOP=×4×8+×4×(-m)=16-2m.又S四边形ABOP=2S三角形ABC=48，所以16-2m=48，解得m=-16，
所以P(-16,1).
例1如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，则第2023次运动到点（ C ）
解析：由题意可知，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3,2)，第4次运动到点(4,0)，第5次运动到点(5,1)，第6次运动到点(6,0)……第4n次运动到点(4n,0)，第4n+1次运动到点(4n+1,1)，第4n+2次运动到点(4n+2,0)，第4n+3次运动到点(4n+3,2).因为2023÷4=505……3，所以第2023次运动到点(2023,2).故选C.
例2如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(a,0)，点C的坐标为(0,b)，且a，b满足+|b-6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动（回到点O时就停止移动）.
（1）求点B的坐标；
（2）当点P移动4s时，请求出点P的坐标；
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间.
分析：（1）利用非负数的性质可以求得a，b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，可以得到当点P移动4s时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可.
解：（1）因为a，b满足+|b-6|=0，所以a-4=0，b-6=0，所以a=4，b=6，所以点B的坐标是(4,6).
（2）因为点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动4s，
所以点P的路程为2×4=8.
因为OA=4，OC=AB=6，
所以当点P移动4s时，在线段AB上，AP=8-4=4，
即当点P移动4s时，此时点P的坐标是(4,4).
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在AB上时,
点P移动的时间是(5+4)÷2=4.5（s);
第二种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是［2×(4+6)-5］÷2=7.5（s).
综上，当点P移动到距离 x轴5个单位长度时，点P移动的时间是4.5s或7.5s. |
