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7.2.2 用坐标表示平移
教学设计
课题 用坐标表示平移 授课人
素养目标 1.掌握坐标变化与图形平移的关系.
2.能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标的变化，来判断图形的移动过程.
3.通过教学使学生掌握平面直角坐标系中的三角形、四边形及多边形的面积的算法.
教学重点 掌握图形平移与坐标变化的关系.
教学难点 利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
将平移变换融入情境中，启发学生思考. 【情境导入】
如图，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，它们的坐标分别是（-1,1），（-3,1），（-1，-1）.30s后，飞机P飞到P′位置，则飞机Q，R飞到了什么位置？你能写出这三架飞机新位置的坐标吗？
同学们，想知道如何解答上述问题吗？让我们带着疑问赶快进入本课时的学习吧！
【教学建议】
以多媒体呈现动态视频为最佳，让学生感悟平移，调动积极性，为后续的探究学习打下基础.
活动二：问题引入，探究新知
设计意图
自主探究，交流总结出点的平移坐标变化规律. 探究点1平面直角坐标系中点的平移规律
如图，在平面直角坐标系中有A，B，C三点，请你分别将这三点向左、向右、向上、向下平移，观察它们的坐标是否按一定的规律变化呢?
（1）如图①，将图中各点向左平移2个单位长度，观察它们的坐标的变化.
【教学建议】
学生动手实践，独立思考，相互交流，通过自主探索获得知识和技能，掌握数形结合的数学思想方法.关键指出：①看清平移的方向，它决定是改变横坐标还是纵坐标，并决定是加还是减；②看清平移的距离，
教学步骤 师生活动
（2）如图②，将图中各点向右平移5个单位长度，观察它们的坐标的变化.
（3）如图③，将图中各点向上平移3个单位长度，观察它们的坐标的变化.
（4）如图④，将图中各点向下平移2个单位长度，观察它们的坐标的变化.
归纳总结：一般地,在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a,y)（或(x-a,y)）；将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y+b)（或(x,y-b)）. 它决定坐标改变的数量.
对应的练习使学生掌握点的平移坐标变化规律，并培养一定的逆向思维.
教学步骤 师生活动
设计意图
由点的平移规律进而去探索图形的平移规律，由浅入深，由易到难.
设计意图
体会由坐标变化引起的图形位置变化. 【对应训练】
1.在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)向右平移2个单位长度后,得到的对应点的坐标是（ D ）
A.(-5,2) B.(-1,4) C.(-3,4) D.(-1,2)
2.在平面直角坐标系中,把点P(2,1)向下平移3个单位长度，所得的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限教学步骤师生活动
3.在平面直角坐标系中,已知点M（3a-9,1-a），若把点M向上平移6个单位长度后落在了x轴上，则a=7；
4.若点A向下平移3个单位长度得到点A′(-4，-2)，则点A的坐标为(-4，1).
探究点2平面直角坐标系中图形的平移规律
（教材P76探究）如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2，4)，B(-2，3)，C(-1，3)，D(-1，4)，将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？由此我们可以得出什么样的结论？
答：点E，F，G，H的坐标分别是(6，-3)，(6，-4)，(7，-4)，(7，-3).如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同.
归纳总结：一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
【对应训练】
教材P78练习.
探究点3点的坐标加、减一个数后图形的变化规律
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
例1（教材P76例题及P77思考）如图①，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
解：如图②，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.
（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
解：如图，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
（3）如果把（1）（2）中“横坐标都减去6”“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”“纵坐标都加2”，分别能得出什么结论？画出得到的图形.
解：如图③，三角形的大小、形状不发生变化，“横坐标都加3”会使位置向右平移3个单位长度，“纵坐标都加2”会使位置向上平移2个单位长度.
（4）如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得到什么结论？画出得到的图形.
解：如图④，三角形大小、形状不发生变化，位置沿AA5(或BB5或CC5）方向平移了AA5（或BB5或CC5）的长度.
总结归纳：一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
【对应训练】
1.将三角形ABC各顶点的横坐标分别减去3,纵坐标不变，得到三角形A1B1C1相应顶点的坐标，则三角形A1B1C1可以看成将三角形ABC（ A ）
A.向左平移3个单位长度得到 B.向右平移3个单位长度得到
C.向上平移3个单位长度得到 D.向下平移3个单位长度得到
2.线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则平移方式是先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度.
【教学建议】
学生自主探究图形的平移，可以两次平移，也可以一次平移，理解平移结果的一致性.教师着重强调：图形的平移实质上就是图形上所有点的平移；根据平移的方向和距离确定数的符号时不要出错.
【教学建议】
学生自主探究点的坐标加、减一个数后图形的变化规律，培养数学语言表达能力.
注意强调：①图形的平移只改变图形的位置及表示位置的坐标，不改变图形的形状、大小；②图形中所有对应点的坐标都做相同的加减时，说明两个图形之间是平移的关系.完成练习时学生可以自主讨论交流，必要时动手画图，提高操作能力，加强对于图形平移的理解.注意强调根据数的变化判断平移方向，不要弄反.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
巩固点的坐标加减一个数后图形的变化规律，动手操作画图，对坐标平面内求图形面积的方法进行综合性考察. 例2如图，已知点A（-4，-1），B（-5，-4），C（-1，-3），三角形ABC经过平移得到三角形A1B1C1,三角形ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P1（x1+5，y1+3）.
（1）写出三角形A1B1C1各顶点的坐标；
（2）画出平移后的三角形A1B1C1；
（3）求三角形ABC的面积.
【对应训练】
如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是三角形ABC的边AC上一点，三角形ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6，b＋2).
（1）请画出上述平移后的三角形A1B1C1，并写出点A，C，A1，C1的坐标；
（2）求出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积.
【教学建议】
教师指导，学生交流后作答，强化对于本章重点题型的解读，同时能够一定程度上发散学生的逆向思维.引导学生对之前所学内容进行回顾梳理，体会用“割补法”求坐标平面内图形的面积，进一步加强学生的动手能力和逻辑思维能力，并熟练掌握点的平移的坐标变化规律.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律是什么？将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到吗？图形上点的坐标的某种变化引起图形平移的规律是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P78习题7.2第1,2,3,4,7,8,9,10,11题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 7.2.2用坐标表示平移
1.点的平移的坐标变化规律：
2.将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
3.图形的平移实质上就是图形内所有点的平移.
4.已知点的坐标和平移方式，可以得到平移后点的坐标；已知平移前后对应点的坐标，也可反映出平移方式.
教学反思 通过本课时的学习，学生经历图形平移与图形坐标变化之间的关系的探索过程.结合第五章所学的平移知识，认清图形平移的实质是点的平移，由平移前后点的坐标变化即可确定平移前后图形中任意一组对应点的坐标变化.
1.用坐标表示平移变换的归纳
（1）已知一个点的坐标，如果知道它的平移方向和平移距离，就能得到它平移后的坐标；已知一个点平移前后的坐标，就能知道它的平移方向和平移距离.
（2）图形的平移方式可以通过分析一对对应点的坐标得出来，同时图形平移前后每对对应点的坐标变化都相同.
例1在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是(-2,5)，现将三角形ABC平移，使点A变为点A′，点B，C分别变为点B′，C′.
(1)请画出平移后的三角形A′B′C′，并写出点B′，C′的坐标；
(2)若三角形ABC内部一点P的坐标为(a,b)，求平移后点P的对应点P′的坐标.
解:(1)由图可知点A的坐标为(3，5)，点A′的坐标是(-2,5)，所以点A的坐标变化为：横坐标减去5，纵坐标不变.所以平移的方式是：三角形ABC向左平移5个单位长度得到三角形A′B′C′.平移后的三角形A′B′C′如图所示,点B′(-4,3)，C′(-1，1).
(2)由(1)知点P的对应点P′的坐标为(a-5，b).
2.平移平面直角坐标系后点的坐标变化
平面直角坐标系的平移可转化为点的平移，点的平移方向与平面直角坐标系的平移方向相反，平移距离相等.
例2如图，在平面直角坐标系xO1y中，点A的坐标为(1，1).如果将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，两坐标轴交于点O2，点A的位置不变，那么在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是（ B ）
A.(-3，2)
B.(3，-2)
C.(-2，-3)
D.(3，4)
分析：
解析：由题意，可将点A看作先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，故在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是（3，-2）.故选B.
例1如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3).
（1）将三角形ABC先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度得到三角形A1B1C1，请画出三角形A1B1C1；
（2）写出点A1,B1,C1的坐标；
（3）求出三角形A1B1C1的面积.
例2在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移|a|格（当a为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移|b|格（当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为(a,b).例如在图①中，从A到B记为：A→B(+1,+3)；从C到D记为：C→D(+1,-3).
请回答下列问题：
（1）如图①，若点A的运动路线为：A→B→D→A，请计算点A运动过的总路程；
（2）若点A运动的路线依次为：A→M(+2,+3)，M→N(+1,-1)，N→P(-2,+2)，P→Q(+4,-4).请你依次在图②上标出点M，N，P，Q的位置；
（3）在图②中，若点A经过(m,n)得到点E，点E再经过(p,q)后得到点Q，则m与p满足的数量关系是m+p=5，n与q满足的数量关系是n+q=0.
解：（1）点A运动过的总路程为1+3+3+|-2|+|-4|+|-1|=14.
（2）如图②所示.
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