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第2课时 用加减消元法解二元一次方程组
教学设计
课题 用加减消元法解二元一次方程组 授课人
素养目标 1.体验加减消元法，在此基础上学习加减消元法的概念，理解加减消元法.
2.会运用加减消元法求二元一次方程组的解， 掌握用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.
3.通过运用加减消元法解方程组，体会消元思想的运用，体验先观察，再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.
教学重点 掌握用加减法解二元一次方程组.
教学难点 灵活运用加减消元法，把“二元”转化为“一元”，正确求解二元一次方程组.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入
设计意图
复习等式的基本性质，方便引入加减消元法. 【回顾导入】
在前面的课时，我们研究了用代入法解二元一次方程组，这种方法的基本思想是消元，即把二元一次方程组转化为一元一次方程.
除了用代入法消元外，还有没有其他的方法消元呢？大家看下面3个问题：
②如果a=b，那么a±c = b±c.
②如果a=b，那么ac = bc.
③如果a=b，c=d，那么a±c = b±d成立吗？为什么？
以上这些性质运用在方程上，是否有助于解方程组呢？本节课我们将对该问题进行探讨. 【教学建议】
教师带领学生一起回顾等式的基本性质，引出方程的变形、加减法解二元一次方程组有关知识.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
通过探究的方式，让学生初步体会到用加减消元法解二元一次方程组的思想、方法和步骤. 探究点1用加减消元法解二元一次方程组
1.同一未知数的系数相等——两个方程相减
（教材P94上方的思考）前面我们用代入法求得方程组
x+y=10,①
2x+y=16② 的解.除此之外，还有没有别的方法呢？
问题1这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系并结合“活动一”中的问题，你能发现新的消元方法吗？
答：这两个方程中未知数y的系数相同，我们可以通过两个方程相减，即②-①（或①-②）来消去未知数y.
问题2②-①的意义是什么？为什么要②-①？
答：②-①就是用方程②的左边减去方程①的左边，方程②的右边减去方程①的右边.解二元一次方程组需要“消元”，通过②-①可以消去未知数y，得到关于x的一元一次方程.
问题3②-①的理论依据是什么？
答：等式的性质.等式两边都加（或减）相等的量，结果仍相等.
问题4请用②-①的方式解方程组. 【教学建议】
学生分组讨论完成加减法的探究过程.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出加减消元法的概念，并结合“活动一”说明加减法的理论依据就是等式的性质.在用加减法解二元一次方程组时，要根据未知数的系数特征来选取合适的方法求解.
教学步骤 师生活动
解：②-①，得x=6.
把x=6代入①，得6+y=10.解得y=4.
所以这个方程组的解是x=6,y=4.
问题5①-②也能消去未知数y，求得x吗？（请学生上台板演）
答：能.①-②，得-x=-6，即x=6.把x=6代入①，得y=4.
所以这个方程组的解是x=6,y=4.
2.同一未知数的系数互为相反数——两个方程相加
（教材P94下方的思考）联系前面的探索过程，想一想怎样解方程组3x+10y = 2.①
15x-10y = 8.②
问题1这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？该如何消元？
答：两个方程中未知数y的系数互为相反数，则两个方程相加即可消去未知数y .
问题2根据你的消元思路解方程组.
解：①+②，得18x=10.8，x=0.6.
把x=0.6代入①，得3×0.6+10y = 2.8，10y = 1，y = 0.1.
所以这个方程组的解是 x = 0.6,
y = 0.1.
概念引入：从上面两个方程组的解法可以看出：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
3.同一未知数的系数既不相等也不互为相反数——方程变形后相加、减
例1（教材P95例3）用加减法解方程组 3x+4y=16,①
5x-6y=33.②
问题1观察方程组两个方程中未知数的系数，这个方程组能否直接加减消元？
答：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元.
问题2怎样对方程组中的方程①②变形，才能使得这两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等呢？
答：根据等式的性质，我们可以在方程两边乘适当的数，使同一未知数在两个方程中的系数相反或相等.如：①×3，②×2，则y的系数互为相反数.
问题3请写出具体的解答过程.
教学步骤 师生活动
设计意图
通过运用加减法解方程组来解决简单的实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识.
问题4如果用加减法消去x应如何解？解得的结果一样吗？
答：如果用加减法消去x，则需要对方程变形，使两个方程中未知数x的系数相等，可以①×5-②×3.（分析完毕后可请学生上台板演）
过程如下：
①×5-②×3，得38y=-19，y=-0.5.
把y=-0.5代入①，得3x-2=16，x = 6.
所以这个方程组的解是 x = 6，
y =- 0.5.
归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为先消去哪个未知数而产生变化.一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.
【对应训练】
1.用加减法解方程组 x+3y = 5,
2x-y = 4 时，要使方程组中同一个未知数的系数相反或相等，必须适当变形，以下四种变形中正确的是（ D ）
① 2x+6y=5, ② 2x+6y=10, ③ x+3y=5, ④ x+3y=5,
2x-y=4; 2x-y=4; 6x-3y=4; 6x-3y=12.
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
2.教材P96练习第1题.
探究点2 加减消元法解二元一次方程组的简单应用
例2（教材P95例4）2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2. 1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
问题1有关工作量的相等关系是什么？
答：工作量=工作效率×工作时间.
问题2如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦(2x+5y) hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦(3x+2y) hm2.
问题3结合问题1，2的分析，你认为本题中有怎样的相等关系？试用含未知数的等式表示出来.
问题4通过上面的分析，你能写出完整的解答过程吗？试试看.
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.
根据两种工作方式中的相等关系，得方程组
2(2x+5y)=3.6,
5(3x+2y)=8.
去括号，得 4x+10y = 3.6,①
15x+10y = 8.②
②-①，得11x = 4.4.解这个方程，得x=0.4.
③ 把x=0.4代入①，得y=0.2.
因此，这个方程组的解是x=0.4，y=0.2.
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
问题5解方程组 2(2x+5y) = 3.6,
5(3x+2y) = 8 时，为什么要先去括号而不先除以两方程中括号前的系数简化方程组呢？
答：去括号后未知数y的系数恰好相等，可直接使用加减法求解.如果先简化方程，后续仍要对方程变形来调整未知数的系数，简化成为“无用功”.
【对应训练】
1~2.教材P97练习第2~3题.
【教学建议】
教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程，最后用框图的形式总结出用加减法解二元一次方程组的一般步骤.教师应提醒学生，在解方程组时，通常需要先将列出或给出的方程组整理成
ax + by = m,
cx + dy = n
的形式再求解.
活动三：交流新知，灵活运用
设计意图
强化学生对二元一次方程组解法的认识，能够选择合适的方法解方程组.
（教材P97思考）（1）你怎样解下面的方程组？
（Ⅰ） 2x+y=1.5,① （Ⅱ） x+2y = 3,①
0.8x+0.6y=1.3;② 3x-2y = 5.②
问题1观察上面的两个方程组，你分别选择用什么方法求解？为什么？
答：方程组Ⅰ中方程①中y的系数是1，选择用代入法；方程组Ⅱ中y的系数互为相反数，选择用加减法.
问题2方程组Ⅰ能直接用加减法求解吗？若不能，要如何变形才能使用加减法？
答：不能.如果要消去x，可以②×5-①×2；如果要消去y，可以①×3-②×5.
问题3求出方程组的解.
解：（Ⅰ）用代入法解.由①，得y=1.5-2x.③
把③代入②，得0.8x+0.6(1.5-2x)=1.3，-0.4x=0.4，x=-1.
把x=-1代入③，得y=3.5.
所以这个方程组的解是 x = -1,
y = 3.5.
（Ⅱ）用加减法解.①+②，得4x = 8，解得x = 2.
把x = 2代入①，得2+2y = 3，解得y = 0.5.
所以这个方程组的解是 x = 2，
y = 0.5.
（2）选择你认为简便的方法解习题8.1中的第4题（“鸡兔同笼”问题）.
解：设笼中有鸡x只，兔子y只.根据题意，得 x+y = 35,①
2x+4y = 94.②
②-①×2，得2y = 24，解得y = 12.
把y = 12代入①，得x + 12 = 35，解得x = 23.
因此，这个方程组的解是 x = 23，
y = 12.
答：笼中有鸡23只，兔子12只.
【对应训练】
1.用合适的方法解下列方程组：
（1） 3x-y=2,① （2） 2x-5y=-21,
6x-3y=5;② 4x+3y=23.①②
解：（1）由①，得y = 3x-2.③
把③代入②，得6x-3(3x-2)=5，解得x= .
把 x = 代入③，得y = -1.所以这个方程组的解是 x =,
y = -1.
（2）②-①×2，得13y = 65，解得y= 5.
把y = 5代入②，得4x + 15 = 23，解得x = 2.
所以这个方程组的解是 x = 2，
y = 5.
2.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品共180件，其中甲种商品每件进价60元，乙种商品每件进价50元.求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件.
根据题意，得
x+y = 180,①
60x+50y=10000.②
方程②整理，得6x+5y=1000.③
③-①×5，得x=100.把x=100代入①，得y=80.
因此，这个方程组的解是 x=100，
y=80.
答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件. 【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.初中阶段，最短路线问题都是围绕线段和垂线段进行变化，教师应指导学生规范画图，牢记线段和垂线段的性质.
【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.加减法和代入法都是通过消元解方程组，对一个方程组用哪种方法解都可以.当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值不是1，且相同未知数的系数不成整数倍关系时，一般经过变形，利用加减法会使过程更简便.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？如果直接用加减消元法解方程组，未知数的系数应满足什么条件？对于未知数的系数既不相同，也不互为相反数，且不是倍数关系的方程组，用加减法求解时，我们应该怎样处理？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P97习题8.2第3，5，6，7，8，9题
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 8.2消元——解二元一次方程组
第2课时用加减消元法解二元一次方程组
1.加减法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形，（2）加减，（3）求解，（4）回代，（5）写解.
2.二元一次方程组的简单应用.
教学反思 本课时从二元一次方程组中未知数的系数关系入手，引入加减消元法，通过解法的对比让学生切实体会到加减法在解二元一次方程组中的作用，然后引导学生归纳加减法解方程组的一般步骤，进而运用加减法解二元一次方程组来解决实际问题.
二元一次方程组加减消元方法的补充：在教学设计中介绍了三种加减消元方法，其中第三种针对的是同一未知数的系数既不相等也不互为相反数的情形，根据二元一次方程组本身的特点，针对这种情况有如下的解题技巧：
（1）当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，可适当变形后消去这个未知数. 这种情况一般只需对其中一个二元一次方程的系数乘以相应倍数即可,不需要对两个二元一次方程都进行变形.
例1 解方程组 2x+5y = 12, ①
8x-3y = 2.②
解：①×4，得8x+20y = 48.③
④-②，得23y = 46，解得y = 2.
把y = 2代入①，得x = 1.
所以原方程组的解是x = 1，y = 2.
（2）事实上，教学设计中第三种方法是观察同一未知数系数的绝对值，看哪一组的最小公倍数最小.比如下面这个例题，未知数x的系数的绝对值为2，3，其最小公倍数是6，而y的系数的绝对值为2,5，其最小公倍数是10,选择x作为“消元”目标更简便些.
例2解方程组 3x-2y = 5，①
2x+5y = 16.②
解：①×2,得6x-4y=10.③
②×3,得6x+15y=48.④
⑤-③,得19y=38, 解得y = 2.
把 y = 2 代入①,得3x-4=5,解得x=3.
所以原方程组的解是 x = 3，
y = 2.
（3）对于未知数系数“互换”的情形，可直接采用两方程相加减来简化系数.
例3解方程组 23x + 37y = 97，①
37x + 23y = 83. ②
解：①+②,得60x + 60y = 180.
即60(x+y)=180，x+y=3.③
②-①,得14x-14y = -14,
即14(x-y) = -14，x-y = -1.④
④+④,得2x=2，解得x=1.
把x=1代入③，得1+y = 3，解得y = 2.
所以原方程组的解是x=1，y=2.
例1已知关于x，y的方程组 2x+y = 2a+1，
x+2y = a-1 的解满足x-y=4，则a的值为2.
解析： 2x+y = 2a+1，①
x + 2y = a-1.② ①-②，得x-y=a+2. 又关于x，y的方程组
2x+y = 2a+1，
x+2y = a-1 的解满足x-y = 4，所以a+2 = 4，所以a = 2.
例2关于x，y的二元一次方程组 ax + by = 5， x = 4，
bx + ay = 6 的解为 y = 6， 求关于m，n的二元一次方程组 a(m+n) + b(m-n) = 5，
b(m+n) + a(m-n) = 6 的解.
解：把关于m，n的二元一次方程组 a(m+n) + b(m-n)=5，
b(m+n) + a(m-n)=6 看作关于未知数为（m+n）和（m-n）的二元一次方程组，所以 m+n=4， m = 5，
m-n=6，解得 n = -1.
例3已知关于x，y的方程组 3x-y=5， ax-by=8，
4ax+5by+22=0与 x+3y=-5 的解相同. 求a，b的值.
分析：首先联立两个方程组中不含a，b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组中含a，b的两个方程，从而得到一个关于a，b的方程组，再求解即可.
解：解方程组 3x-y = 5， x = 1， 4a-10b+22 = 0， a = 2，
x+3y = -5，得 y = -2， 则有 a+2b = 8， 解得 b = 3. 所以a的值为2，b的值为3.
注意：本题考查方程组同解的性质，掌握“同解方程组中的方程重新组合为新方程组时，新方程组与原方程组的解相同”是解题关键.当遇到有关含字母系数的二元一次方程组的解的问题时，通常要运用二元一次方程组的解的定义，将解代入原方程组，再求解方程中的字母系数.
例4已知关于x，y的方程组 ax-3y = 17，① x = -2,
5x+by = 4，② 小明在解方程组时看错a，解得 y=7，
小红在解方程组时看错b，解得 x=5,
y=1,求原方程组正确的解.
解：把 x=-2,
y=7代入方程②，得-10+7b=4，解得b=2，即正确的b的值为2.
把 x=5,
y=1代入方程①，得5a-3=17，解得a=4，即正确的a的值为4.
所以原方程组为 4x-3y=17, x=2,
5x+2y=4, 解得 y=-3.
所以原方程组正确的解为 x=2,
y=-3. |
