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第1课时 和差倍分与配套问题
教学设计
课题 和差倍分与配套问题 授课人
素养目标 1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组.
2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答.
3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.
教学重点 以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题.
教学难点 确定解题策略，比较估算与精确计算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入
设计意图
复习二元一次方程组的解法及列一元一次方程解应用题的步骤，引入本课内容. 【回顾导入】
结合之前所学的知识，回答下面的问题.
（1）解二元一次方程组的基本思想是什么？常见方法有哪些？
答：解二元一次方程组的基本思想是消元，常见方法有代入消元法和加减消元法.
（2）列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
答：一般步骤是审、设、列、解、验、答.即（1）审清题意，找出已知量和未知量；（2）设未知数，并用含未知数的式子表示出相关的量；（3）根据题中的相等关系列出方程；（4）解方程；（5）检验所得结果是否满足所设方程且具有实际意义；（6）根据提问作答.
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题. 【教学建议】
教师可让学生结合教材P92例2和P95例4，初步探究列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的共性问题.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
以教材探究题为例，探讨用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤和方法，引入和差倍分问题. 探究点 和差倍分问题
例1（教材P99探究1）养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg.你能通过计算检验他的估计吗？
我们分步来解决这个问题：
问题1怎样判断李大叔的估计是否正确？
答：根据题中给出的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约需饲料用量，再来判断李大叔的估计是否正确.
问题2写出题中的已知量和未知量.
答：已知量：购进前后大牛和小牛的数量，购进前后每天饲料的用量.
未知量：大牛1天饲料的消耗量和小牛1天饲料的消耗量.
问题3设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.写出题中的相等关系并用含未知数的等式表示. 【教学建议】
学生分组讨论作答，教师规范解题过程.对于学生列出的其他正确方程，如12x+5y=265，教师可让学生介绍自己的想法并予以肯定，指出列方程组时应尽量使用原题中的数据，如265应写成940-675；
教学步骤 师生活动
答：①30头大牛1天的饲料用量+15头小牛1天的饲料用量=675kg；30x + 15y =675
②(30+12)头大牛1天的饲料用量+(15+5)头小牛1天的饲料用=940kg.
(30+12)x + (15+5)y =940
问题4请将下面的解答过程补充完整.
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组
30x+15y=675， x=20，
(30+12)x+(15+5)y=940. 解这个方程组，得 y=5.
这就是说，每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg.
问题5饲养员李大叔的估计正确吗？
根据问题4的结果可知，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.
归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
和差倍分问题中常见的相等关系：
较大量=较小量+多余量；总量=一份的量×倍数；各分量相加=总量.
【对应训练】
某船的载重量为300 t，容积为1200 m3，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 m3，乙种货物每吨体积为2 m3.如何装运甲、乙两种货物才能充分利用这艘船的载重和容积？（假设装运货物时不留空隙）
解：设装运甲种货物x t、乙种货物y t.
根据货物的质量与船的载重、货物的体积与船的容积的数量关系，列方程组 x+y=300, x=150,
6x+2y=1200. 解这个方程组，得 y=150.
答：装运甲种货物150t、乙种货物150t可充分利用这艘船的载重和容积. 对于同一问题的不同解法，结果应一致，若不一致，则需仔细检查过程是否有纰漏.
活动三：知识延伸，举一反三
设计意图
例2某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套.要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应如何安排生产？
问题1写出题中的已知量和未知量.
答：已知量：工人总数，每名工人一天能生产茶杯或茶壶的数量，组
教学步骤 师生活动
引导学生用二元一次方程组解决配套问题. 成一套茶具所需茶杯和茶壶的数量.
未知量：生产茶杯的工人数量，生产茶壶的工人数量. （1）审
问题2应如何设元？
答：设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶. （2）设
问题3找出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.
答：①生产茶杯的工人数量 + 生产茶壶的工人数量 = 120；
x + y = 120
②茶杯的数量∶茶壶的数量 = 8∶1.
200x ∶ 50y = 8∶1
（可变形为200x=8×50y） （3）列
问题4写出完整的解题过程.
解：设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.
根据工人总数，茶杯、茶壶的生产量与配比的数量关系，列方程组
x+y =120,
200x = 8×50y.
解这个方程组，得 x = 80,
y = 40. （4）解（5）验
答：要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. （6）答
归纳总结：配套问题中常见的相等关系：
数量较少量×相应倍数=数量较多量；
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.
对应训练
某家具厂接到了一笔定制方桌的订单，下面是两位木匠师傅的对话.
如何分配木料才能完成这笔订单？这笔订单需要方桌多少张？
解：设用x m3木料做桌面，y m3木料做桌腿.
根据题意，得 x+y=5.5, x=3.5,
4×50x=300y+100. 解这个方程组，得 y=2.
所以50×3.5=175（张）.
答：用3.5 m3木料做桌面、2m3木料做桌腿即可完成这笔订单，这笔订单需要方桌175张. 【教学建议】
学生独立思考作答，解决配套问题的关键就是找出各部件之间的数量关系，通过比例的性质将比例式转化为等积式.在用二元一次方程组解决实际问题时，审、验这两个步骤通常是在草稿纸上进行.
活动四：强化训练，学以致用
设计意图
进一步巩固用二元一次方程组解应用题的思想，强化对列二元一次方程组解应用题方法和步骤的掌握. 例3为支援抗洪救灾工作，甲、乙两运输队接受了运输20000箱救灾物资的任务，任务要求在15天内（包含15天）完成.已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱救灾物资，乙队每辆车每天能够运输100箱救灾物资，前4天两队一共运输了8000箱.4天后，乙队临时被调派去执行更为紧急的任务，在规定的时间内甲队能否单独完成剩下的运输任务？
解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车.
结合汽车辆数与所运物资的数量关系，列方程组
x+y = 18,
4(120x+100y) = 8000.
解这个方程组，得 x=10,
y=8.
则甲队完成剩余运输任务所需时间为(20000-8000)÷(120×10)=10（天）.
因为10+4<15，
所以在规定的时间内甲队能单独完成剩下的运输任务.
【对应训练】
各级教育部门高度重视中小学生安全教育，各学校也时常开展应急安全防护和撤离的演练.某校有一栋教学大楼，进出这栋大楼共有五道门，有大小相同的两道正门，大小相同的三道侧门，经安全检测得知：开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通过600人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过540人.若紧急情况下，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%，该校要求大楼内1656名全体师生必须通过这五道门紧急撤离.那么全体师生全部撤离该栋教学大楼需要多少分钟？
解：设正常情况下，平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过x人，y人.
由题意列方程组 2x+y=600，
x+2y=540.
解这个方程组，得 x=220，
y=160.
1656÷[(2×220+3×160)×80%]=2.25（min）.
答：全体师生全部撤离该栋教学大楼需要2.25min.
【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.例题需要先根据已知条件求出甲、乙两队所拥有的汽车数，再计算出甲队完成剩余任务所需的时间，最后确定是否超出规定时间.
活动五：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：在结合实际问题列方程组之前我们需要先做哪些工作？列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P101习题8.3第1，3，4，7题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 8.3实际问题与二元一次方程组
第1课时和差倍分与配套问题
列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
（1）审，（2）设，（3）列；（4）解；（5）验，（6）答.
教学反思 本节内容是在学习了二元一次方程组的解法及列方程组解较简单的应用题的基础上安排的，教学中可让学生经过充分思考和小组讨论之后总结出列方程组解决实际问题的一般步骤，体会数学建模思想在日常生活中的应用.
1.列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，设几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一.
2.常见的一些等量关系：
举个例子，我们来看其中的数字问题，这里找相等关系的关键是注意要正确的表示两位数：若当十位上的数字为a,个位上的数字为b时，这个两位数就可表示为10a+b.
例1一个两位数，比它十位上的数字与个位上的数字的和大9;如果交换十位上的数字与个位上的数字，所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.
解：设这个两位数十位上的数字为x, 个位上的数字为y, 则原数为10x+y,把两个数字的位置交换后，所得新数为10y+x.
根据题意，可列方程组 10x+y=x+y+9, x=1,
10y+x=10x+y+27. 解这个方程组，得 y=4.
所以1×10+4=14.
答：这个两位数是14.
（2）配套问题中的基本相等关系：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.
注意：解决这类问题一般根据下列两个相等关系列方程组：
①（工人数、生产原料等）各分量之和=总量；
②若m件A产品与n件B产品配成一套，则A产品的数量∶B产品的数量=m∶n，即n×A产品的数量=m×B产品的数量.
例2某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，现计划用132m这种布料生产这批秋装(布料全部用完，不考虑布料的损耗),应分别用多少米的布料做衣身和衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
分析：列表分析如下：
解：设用x m布料做衣身，用y m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，得 x+y = 132,
2×(x÷= y÷.
解这个方程组，得 x=60,
y=72.
答：应用60 m布料做衣身，用72 m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
注意：不要把2倍的关系理解颠倒了.可以分以下步骤进行：
(1)判断配套对象所需数量的多少，如需衣袖的数量多，衣身的数量少;
(2)确定刚好配套的比例，如:衣袖数量∶衣身数量=2∶1;
(3)数量多的乘“小比”=数量少的乘“大比”，如1×衣袖的数量=2×衣身的数量.（或根据比例的性质：内项的积等于外项的积）
例1某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元.
(1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔每支的进价；
(2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔每支提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，则小静有几种购买方案？
解：（1）设甲、乙两种自动铅笔每支的进价分别为x元、y元.
由题意，得 4x+2y=22， x=3，
8x=4y+4.解得 y=5.
答：甲、乙两种自动铅笔每支的进价分别为3元、5元.
（2）因为专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔每支提价20%出售，
所以甲、乙两种自动铅笔每支的售价分别为4元、6元，
所以4m + 6n = 24，所以m = 6-n.
因为m，n都是自然数，所以 m=6， m=3， m=0，
n=0或 n=2或 n=4.
则小静一共有三种购买方案.
例2工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作为侧面或底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完.
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误.请你判断第几次的记录有误，并说明理由;
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个?
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1∶3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值.
分析：
解：（1）①第二次记录有误，（420+1002）÷5=284.4（个），纸板个数不是整数.
②设领取的纸板做了竖式纸盒x个，横式纸盒y个.
答：领取的纸板做了竖式纸盒40个，横式纸盒260个.
（2）设领取的纸板做了竖式纸盒m个，横式纸盒n个，
由题意，得(m+2n)∶(4m+3n)=1∶3，整理，得m=3n.所以m∶n = 3∶1.
答：利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3∶1. |
