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第2课时 几何图形与图文信息问题
教学设计
课题 几何图形与图文信息问题 授课人
素养目标 1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.
2.实际问题与图形相关时，则可以绘制出简图，根据图形特点寻找相等关系，列出方程组.
教学重点 借助几何图形分析题目中的各个量之间的关系.
教学难点 借助图形分析问题中所蕴含的数量关系.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
以图形问题为例，引出本课所要学习的内容. 【实践导入】
1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2.把长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，又有哪些折法？
在实际生活中，经常会遇到像上面这样如何对几何图形进行分割的问题，本课时我们一起来探讨下.
【教学建议】
通过折叠长方形纸片，按要求分配长方形的面积，引入本课时对几何图形问题的探究.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
以教材探究题为例，引入几何图形问题，探究如何分析、解答此类问题. 探究点 几何图形问题
例1（教材P99探究2）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
我们一起来分析探讨下：
问题1把一个大长方形分割成两个小长方形，可能有哪些划分方案？
答：可能有如图所示的两种划分方案.
【教学建议】
由学生按问题顺序分析题目，确定未知数及相等关系，厘清解题思路.在寻找相等关系时，问题4中的相等关系①与两个小长方形的面积之和=大长方形的面积是等效的.
教学步骤 师生活动
问题2如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？
答：总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.
问题3以图①为例，要表示种植面积需设哪些量？要表示单位面积产量呢？
答：可设这两块地的长AE，BE分别为x m，y m.
可设甲种作物每平方米产量为a(a≠0)，则乙种作物每平方米产量为2a.
问题4结合问题3中所设的未知数，找出相等关系并列方程组求解.
解：如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
根据题意可找出下列相等关系：
①AE+BE=AB，即x+y=200.
②产量=单位面积产量×种植面积，则甲种作物总产量为a·AE·AD，即100ax；乙种作物总产量为2a·BE·AD，即200ay.
③甲种作物的总产量∶乙种作物的总产量=3∶4，即100ax∶200ay=3∶4.
根据题意，得 x+y=200,
100ax∶200ay=3∶4.
整理，得 x+y=200, x=120,
2x=3y.解这个方程组，得 y=80.
问题5如何表述你的种植方案？
答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
问题6如果利用第二种划分方案，如何解这个应用题？
解：如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和ABFE，DE = x m，AE = y m.
可得方程组 x+y=100,
200ax∶400ay=3∶4.
整理，得 x+y=100,
2x=3y.
解这个方程组，得 x=60,
y=40.
在一些较复杂的问题中，部分条件未明确给出时，可尝试设辅助元（如例1问题3中所设的a）以表示出相关量，之后对方程进行整理化简即可消去辅助元.几何类问题通常在边长或者面积上存在一个相等关系.
教学步骤 师生活动
过长方形土地的短边上离一端60m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
【对应训练】
小明在探究完上面的例题后，提出这样一个想法：如果把原题中“分为两块小长方形土地”改为“分为两块梯形土地”，其他条件不变，还能否通过划分土地使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
小明作出如下探究：如图，若甲、乙两种作物的种植区域分别为梯形AEFD和梯形BEFC，DF=CF=100m.如何划分AB，可使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
解：设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.
设AE = x m，BE = y m.根据题意，可列方程组
x+y=200,
[a××100(100+x)]∶[2a××100(100+y)]=3∶4.
整理，得 x+y=200, x=140,
2x=3y+100. 解这个方程组，得 y=60.
因此，过AB上距离A端140m的E处，连接EF，将这块土地分为两块梯形土地，可使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4.
活动三：知识延伸，举一反三
设计意图
设计意图以实际问题为例，引入图文信息问题. 例2根据图中提供的信息，解答后面的问题：
（1）求水瓶和水杯的单价；
（2）王老师购买了6只水瓶和20只水杯，商家给予八折优惠，则王老师共需付款多少钱？
问题1观察上图，你能获得哪些信息？
答：①1只水瓶和1只水杯共需48元；②3只水瓶和4只水杯共需152元.
问题2设每只水瓶的价格为x元，每只水杯的价格为y元，请将获取的信息表示成含未知数的等式.
答：①1×水瓶单价+1×水杯单价=48元，即x+y=48；
【教学建议】
学生独立思考作答，解决此类问题的关键是正确理解题意，从图中找出相等关系，分析出数量关系并列出方程组.
教学步骤 师生活动
②3×水瓶单价+4×水杯单价=152元，即3x+4y=152.
问题3第（2）小问中的付款金额应如何求解？
答：根据（1）中求得的水瓶与水杯的单价，计算6只水瓶和20只水杯的总价后乘以0.8即可.
问题4请写出完整的解答过程.
解：（1）设水瓶的单价为每只x元，水杯的单价为每只y元.
根据图中水瓶、水杯的价格关系，列方程组 x+y = 48，
3x+4y = 152.
解这个方程组，得 x = 40，
y = 8.
答：水瓶的单价为每只40元，水杯的单价为每只8元.
（2）(6×40+20×8)×0.8=320（元）.
答：王老师共需付款320元.
【对应训练】
王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处赵主任交账，以下是两人的对话：
赵主任为什么说他记错了，请你用方程组的知识给予解释.
解：设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本.
根据题意，得 x+y = 105,
8x+12 y= 1600-518.
解这个方程组，得 x = 44.5,
y = 60.5
因为x，y作为书本的数量，必须是正整数，所以赵主任说王老师记错了.
活动四：强化训练，学以致用
设计意图
列举具体图形的例子，强化学生解决几何问题的能力. 例3如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分别是多少？
解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm.
根据图中长度的相等关系，列方程组
x+y = 50,
2x = x+4y.
解这个方程组，得 x = 40,
y = 10.
答：每个小长方形的长为40 cm，宽为10 cm.
【对应训练】
小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形. 小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图②所示的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为 【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.在此类问题中，拼成的大长方形的长、宽可用小长方形的长、宽表示，然后再通过已知量或把大长方形的长、宽作为中间量，即可得到相应的相等关系.
教学步骤 师生活动
3mm的小正方形.你能求出这些长方形的长和宽吗？
对应训练中学生可能会由图②中面积的和差关系得到关于x，y的二次方程，教师应注意引导学生转而观察线段间的关系.
活动五：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：如何从几何图形或图文对话中提取有效信息，获取相等关系？如何用画图或列表的方法分析数量关系？
【作业布置】
1.教材P102习题8.3第5，6题
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本课时通过利用方程组解决几何图形和图文对话形式的实际问题，使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系.通过列方程组解决实际问题,在建模过程中强化了方程思想,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力，更进一步强化了学生解方程组的技能.
1.几何图形问题：解决这类问题经常会用到有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式，这类性质、公式一般都是隐含的，解题时要注意挖掘.
例如，下面这道题就要注意正方形边长相等这一隐含条件：
例1一个长方形的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，这个长方形的长、宽各是多少？
解：设这个长方形的长为x cm，宽为y cm.
由题意可得 x-3 = y+2， x=9，
2(x-3)=3y. 解得 y=4.
答：这个长方形的长为9 cm，宽为4 cm.
2.图文信息问题：常见的图文信息题，主要包括图景信息题、图表信息题、图象信息题三大类.由于构成每类题的图和文都有其自身一定的特点,所以相应的指导策略自然各有侧重.
注意：在解决以图为主的图景信息题时，要引导学生学会整体观察,了解图意，将图的信息转译为文字信息,并整理所有信息，使得图文问题转化为学生相对熟悉的纯文字问题.
例如，下面这道题中，第（2）问需要考虑水槽的容积，当大球和小球排出的水的体积大于水槽的容积时，超出部分的水便会溢出，这个需要结合图以及生活经验仔细揣摩.
例2如图是用“排水法”测量物体体积的装置，右侧是一个长10cm，宽5cm，高12cm的长方体水槽（水槽壁的厚度忽略不计）.分两次将若干规格相同的大球和小球放入左侧容器中，水槽中收集到的水的高度如图所示.
（1）请根据图中信息，求出大球和小球的体积；
（2）若在左侧容器中放入4个大球和5个小球，水槽中收集到的水的体积是多少？
解：（1）设大球的体积为x cm3，小球的体积为y cm3.
根据图中涉及个数、体积的数量关系，列方程组 x+3y=10×5×4,
2x+8y=10×5×9.
解这个方程组，得 x = 125,
y = 25.
答：大球的体积为125 cm3，小球的体积为25 cm3.
（2）4个大球和5个小球的体积为4×125 + 5×25 = 625（cm3），
长方体水槽的容积为10×5×12 = 600（cm3）.
因为625 cm3 > 600 cm3，所以超出部分的水会溢出.
故在左侧容器中放入4个大球和5个小球，水槽中收集到的水的体积是600 cm3.
例1现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.
(1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为60 m和45 m，求小长方形的相邻两边长.
(2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y.
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
③若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）.
解：（1）设小长方形的长为y m，宽为x m.
依题意，得 x+2y=60， x=10，
2x+y=45. 解得 y=25.
故小长方形的相邻两边长分别是10 m，25 m.
（2）①因为1个小长方形的周长为2（x+y），
大长方形的周长为2(a+b) = 2(2x+y+x+2y) = 6(x+y)，
所以2(x+y)∶2(a+b)= = .
故1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值.
②依题意有 (2x+y)(x+2y) = 4×3xy，整理，得2x2-7xy+2y2 = 0.
故x和y满足的关系式为2x2-7xy + 2y2 = 0.
例2【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(如图①)，是世界上最早的矩阵，又称幻方.用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方(如图②).
（1）观察图②，根据九宫图中各数字之间的关系，我们可以总结出幻方需要满足的条件是每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；
（2）若图③是一个幻方，则图中m = 6，n = 0.
解析：（2）由幻方的条件，得 m-4 = 2+n, 解得 m = 6,
-4+2 = n-2. n = 0. |
