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第3课时 经济问题与行程问题
教学设计
课题 经济问题与行程问题 授课人
素养目标 1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.
2.进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
3.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.
教学重点 用列表的方式分析题目中各个量的关系.
教学难点 借助列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入
设计意图
以经济问题为例，列出二元一次方程，进而引入新课. 【回顾导入】
填一填：
（1）某工厂去年的总产值是x万元,今年的总产值比去年增加了20% ,则今年的总产值是(1+20%)x万元;
（2）若该厂去年的总支出是y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出是(1-10%)y万元;
（3）若该厂今年的利润比去年增加了50%，则结合（1）（2）可列方程为(1+20%)x-(1-10%)y=（1+50%）(x-y).
在上册我们已经学习了用一元一次方程解决销售利润问题，本节课我们将探究学习如何用二元一次方程组解决实际销售问题.
【教学建议】
教师引导学生回顾销售利润相关公式，将填空补充完整，引入本课对销售问题的探究.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
以教材探究题为例，引入经济问题，运用间接设元法解决实际问题. 探究点 经济问题
例1（教材P100探究3）如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
我们通过问题串的形式一起共同来探究下：
问题1本题最终要解决的问题是什么？
答：产品的销售款-（原料费+运输费）=？，即求这批产品的净利润. 【教学建议】
教师带领学生共同完成问题1~3，分析出题中各个量之间的相等关系并用含未知数的式子表示出关键量，之后由学生独立完成问题4和5.注意强调：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，可把关键量设为间接未知数列方程组求解，
教学步骤 师生活动
问题2销售款、原料费、运输费各是多少？它们与哪些量有关？是什么关系？
答：销售款和原料费无法直接求出，运输费为(15000+97200)元.
①销售款=产品数量×产品单价，②原料费=原料数量×原料单价，
③运输费=运价×货物质量×路程.
上述相等关系中，产品数量和原料数量为未知量.
问题3我们设购买原料y t，制成产品x t.请根据题中数量关系填写下表：
问题4根据上表中运费之间的关系，列出方程组，求出未知数的值.
解：根据题意，得 1.5×(20x+10y)=15000,
1.2×(110x+120y)=97200.
整理，得 2x+y=1000, x=300,
11x+12y=8100.解这个方程组，得 y=400.
问题5求这个实际问题的最终答案.
解：8000×300-1000×400-15000-97200=1887800（元）.
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
【对应训练】
如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍.该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品（制作过程中有损耗）运到B地销售，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/（t·km），铁路运费为1元/（t·km）.
（1）这家食品厂到A，B两地的路程分别是多少千米？
（2）若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元？（利润=总售价-总成本-总运费）
解：（1）设这家食品厂到A地的路程是x km，到B地的路程是ykm.
根据题意，得 x+y=20+100+30, x=50,
y=2x. 解这个方程组，得 y=100. 再求得问题的答案.对于数量关系比较复杂的应用题，可采用列表法进行分析，进而列出方程.
教学步骤 师生活动
答：这家食品厂到A地的路程是50km，到B地的路程是100 km.
（2）食品厂到A地的铁路路程为50-20=30（km），食品厂到B地的铁路路程为100-30=70（km）.
设这家食品厂此次收购食材m t，销售食品n t.
根据题意，得 1.5×(20m+30n)=15600,
1×(30m+70n)=20600. 解这个方程组，得m=220,
n=200.
这批食品每吨的售价应为(863800+15600+20600+220×5000)÷200=10000（元）.
答：要想该批食品销售完后工厂共获利863 800元，则这批食品每吨的售价应为10000元.
活动三：知识延伸，举一反三
设计意图
以实际问题为例，引入行程问题. 例2小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
问题1请分析小华从家到学校和从学校到家的路况.
答：如图，小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路.小华从家到学校的路况是先走平路再走下坡路；小华从学校到家的路况是先走上坡路再走平路.
问题2为什么题干中从家到学校和从学校到家所花费的时间不一样？
答：因为去学校时的坡路是下坡，回家时的坡路是上坡，坡路的路程固定，但下坡和上坡的速度不一样，所以花费的时间也不一样，故往返花费的时间不一样.
问题3该问题应如何设元？
答：设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.
问题4请找出题中的相等关系，并用含x，y的等式表示出来.
答：①往：走平路的时间+走下坡的时间=10min，即+ =10；
②返：走上坡的时间+走平路的时间=15min，即+ =15.
问题5请写出完整的解答过程.
解：设小华家到学校平路长xm，坡路长ym.
根据相等关系，得 + =10,
+ =15. 【教学建议】
学生独立思考作答，教师统一答案.本题的重点在于分析出往程的下坡在返程会变成上坡，结合对应的速度即可表示出相应路段所花费的时间，进而由等量关系构建出方程组.虽然往返时，上下坡会发生转换，但对应路段的路程始终是不变的.
教学步骤 师生活动
解这个方程组，得 x=300,
y=400.
小华家到学校的路程为300+400=700（m）.
答：小华家离学校700 m远.
【对应训练】
从甲地到乙地有一段上坡和一段下坡.如果保持上坡每分钟走50m，下坡每分钟走100m，那么从甲地到乙地需要25min，从乙地到甲地需要20min.甲地到乙地全程多少米？
解：设甲地到乙地上坡的路程为xm，下坡的路程为ym.
根据题意，得+ =25,
+ =20.
解这个方程组，得 x=1000,
y=500.
甲地到乙地的路程为1000+500 = 1500（m）.
答：甲地到乙地全程1500 m.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
【作业布置】
1.教材P101习题8.3第2，6，8，9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课,教师由浅入深层层设问,将复杂问题分解为几个简单问题.学生通过独立思考和合作学习,在和谐的氛围中学习并掌握了经济问题与行程问题的解决方法,进一步总结出列方程组解应用题的步骤和方法.
1.经济问题：理解公式、选好公式是关键.如：(1)利润=售价-成本(进价)；（2）利润率=×100%；(3)利润=成本（进价）×利润率；(4)标价=成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价=标价×打折率；
注意：“商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售，例如：打八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十销售.
例如，像下面这道题，我们可以结合上面的基本关系式，进行分析列表，然后列相应的二元一次方程组.
例1某商场购进甲、乙两种商品后，加价40%作为销售价.一段时间后，商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种商品分别以七折和九折销售.某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款399元，这两件商品原销售价之和为490元.这两种商品每件的进价分别为多少元?
分析：列表分析如下：
解法一：设甲、乙两种商品每件的进价分别为x元、y元.
根据题意，得 (1+40%)x+(1+40%)y=490,
(1+40%)×70%x+(1+40%)×90%y=399.
解得 x=150,
y=200.
答：甲、乙两种商品每件的进价分别为150元、200元.
解法二：设甲、乙两种商品每件的原销售价分别为x元、y元.
根据题意，得 x+y=490, x=210,
70%x+90%y=399, 解得 y=280.
所以甲种商品的进价为210÷(1+40%)=150(元),
乙种商品的进价为280÷(1+40%)=200(元).
答：甲、乙两种商品每件的进价分别为150元、200元.
2.行程问题：基本数量关系:路程=速度×时间，另外还有几个常见类型的相等关系.如：
注意：（1）用未知数表示出路程后，建立相等关系可以看作线段加减；（2）单位要统一；（3）相遇、追及问题题干中若遇到“两人相距多少千米”，要多思考一下是否分相遇前和相遇后两种情况；（4）飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.
下面这个例子是“相遇+追及”的典型问题.
例2甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆摩托车同时由甲、乙两地相向而行，43 h后相遇，相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速返回，行驶12 h后追上摩托车.此时，汽车、摩托车分别行驶了多少千米？（汽车和摩托车的速度均保持不变）
分析：相遇及追及问题中常用的相等关系：
基本关系：路程=速度×时间.
相向相遇问题：两者的路程和等于初始时两者间的距离.
同向追及问题：两者的路程差等于初始时两者间的距离.
画线段示意图寻找相等关系：
例1客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450 m，货车长600 m.如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21 s；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1min 45s，求两车的速度.
解：设客车的速度为x m/s，货车的速度为y m/s.
根据题意，得 21（x+y)=450+600,
(60+45)(x-y)=450+600.
解这个方程组，得 x=30,
y=20.
答：客车的速度为30 m/s，货车的速度为20 m/s.
例2小明的妈妈在超市购买A，B两种商品共三次，只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表：
(1)求出商品A，B的标价；
(2)若商品A，B的折扣相同，则该超市是打几折出售这两种商品的？
解：（1）由题意可知：第二次购物时商品A，B同时打折.设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元.
由题意，得 6x+5y=1030，
3x+7y=1010.
解得 x=80，
y=110.
答：商品A的标价为80元,商品B的标价为110元.
（2）设该超市是打m折出售这两种商品的.
由题意，得 (9×80+8×110)× =960，解得m = 6.
答：该超市是打六折出售这两种商品的. |
