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8.1二元一次方程组
教学设计
课题 二元一次方程组 授课人
素养目标 1.认识二元一次方程和二元一次方程组，体会二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型.
2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会检验所给的一对未知数的值是否为二元一次方程或二元一次方程组的解.
3.会求二元一次方程的正整数解.
教学重点 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义.
教学难点 1.感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性.
2.求二元一次方程的正整数解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入
设计意图
回顾方程知识，为突破本课时重难点做准备. 【回顾导入】
同学们，在七年级上册，我们学习了一元一次方程，你还记得什么是一元一次方程吗？“元”“次”分别表示什么含义？请举例说明.
答：在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1(次)，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5，y+6=8.
用一元一次方程可以解决许多实际生活问题.请大家思考教材P87引言中的问题，对于此类含有两个未知量的问题，我们能否根据题意设出两个未知数，并列出方程解决问题呢？
本节课我们将对该问题进行探究与学习. 【教学建议】
学生代表独立回答，教师提示并总结，引出二元一次方程（组）的有关知识.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
以实际问题为例，进行分析探究，引入二元一次方程（组）的概念. 探究点1认识二元一次方程（组）
例1（教材P87引言及P88思考）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
问题1问题中包含了哪些必须同时满足的条件（即相等关系）？
答：①胜的场数+负的场数=总场数；
②胜场积分+负场积分=总积分.
问题2设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
答：这两个条件可以用方程x+y=10，2x+y=16表示.
问题3这两个方程中，分别含有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？
答：分别含有两个未知数（x和y），所含未知数的项的次数都是1.
概念引入：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【教学建议】
学生独立思考并完成相应的问题，教师引导学生一起得出二元一次方程和二元一次方程组的概念.在识别二元一次方程（组）时，应提醒学生注意二元一次方程（组）的三个特征：①“二元”，即方程（组）中含有两个未知数；
教学步骤 师生活动
设计意图
结合问题中未知数的实际意义，列举出所有满足方程的未知数的值，引入二元一次方程（组）的解的概念. 上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16.把这两个方程合在一起，写成
x+y=10,
2x+y=16，就组成了一个方程组.
概念引入：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【对应训练】
1.下列方程中，是二元一次方程的是（ D）
A.3x-2y=4z B.6xy+9=0 C. +4y=6 D.4x =
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ A ）
探究点2二元一次方程（组）的解
下面我们继续来探究引言中的问题.
问题1满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.
结合问题的实际意义，胜负场数均为非负整数.
如果不考虑方程x+y=10与前面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，y=9.5；……也都是这个方程的解.
概念引入：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
问题2一个一元一次方程有几个解？一个二元一次方程呢？
答：一个一元一次方程只有一个解，一个二元一次方程有无数多解.
问题3结合在上表中填入的x，y的值，计算2x+y的值并填在表中.上表中哪对x，y的值同时满足方程2x+y=16.
答：x=6，y=4同时满足方程2x+y=16.
x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16.也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10与方程2x+y=16的公共解. 我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组 x+y =10, 的解，这个解通常记作 x = 6,.
2x+y =16 y = 4
概念引入：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. ②“一次”，即方程（组）所含未知数的项的次数都是1；③（方程组中的两个）方程的两边都是整式.
【教学建议】
学生独立思考并完成表格，教师引导学生得出二元一次方程（组）的解的概念，加深对该概念的理解.二元一次方程组的解的特点：①是一对数值，即x=a,y=b.②同时满足方程组中的每一个方程.
教学步骤 师生活动
问题4请联系上面的问题，确认这个队的胜负场数.
答：这个队在10场比赛中胜6场、负4场.
【对应训练】
1.教材P90习题8.1第1题.
2.若x=2,y=5是关于x，y的方程kx-2y=-2的一个解，则k的值为4.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
以实际问题为例，让学生独立完成由实际问题建立方程模型，并结合实际意义求方程组的解的过程. 例2观察小红与小明的对话，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，确定成人、儿童的人数.
【对应训练】
教材P89练习. 【教学建议】
学生分小组讨论解答.教师适时引导学生根据问题的实际意义确定未知数的取值.通常此类问题中未知数是非负整数（或正整数），要具体问题具体分析.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：如何判断一个方程（组）是不是二元一次方程（组）？如何判断一对数值是不是二元一次方程（组）的解？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P90习题8.1第2~5题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 8.1二元一次方程组
1.二元一次方程与二元一次方程组：
特点：①有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程.
2.二元一次方程的解：有无数对.
3.二元一次方程组的解：两个方程的公共解.
教学反思 本节课从球赛积分入手，通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，引出二元一次方程（组）及其解的概念，提炼出概念的特点，找出相关概念的区别与联系，方便学生理解.
1.二元一次方程必须满足的条件：①等号两边的式子都是整式；②有且只有两个未知数；③含有未知数的项的次数都是1.
而对于二元一次方程组，组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如
3x+1= 0, x=3，也都是二元一次方程组.
x-2y = 5, y=5
例1已知下列方程，其中是二元一次方程的有①④⑤⑦.
①2x-5=y；②x-1=4；③xy=3；④x+y=6；⑤2x-4y=7；⑥5x+ =3；⑦x+y=1；⑧x2-8y=0.
解析：①④⑤⑦满足二元一次方程的概念.②是一元一次方程，方程中只含有一个未知数；③⑧中含未知数的项的次数最高为2；⑥不是整式方程.
2.求二元一次方程的整数解的方法：（1）首先用一个未知数表示另一个未知数；
（2）给定x一个值，求出y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解（也可给定y一个值，再求出x）.
例2写出二元一次方程x+3y =14的一组整数解： x =14,
y = 0（答案不唯一）.
解析：因为x+3y=14，所以x=14-3y，当y=0时，x=14-3×0=14，
所以二元一次方程x+3y=14的一组整数解可以是 x=14，
y = 0.（答案不唯一）
3.二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多解或无解.
如：方程组 x+y=2, x+2y = 5,
2x+2y=4 有无数多解，方程组 2x+4y = 12 无解.
注意:二元一次方程组的解是一组数对，它同时满足方程组中的每一个方程，一般写成
x = a,
y = b的形式.
例1已知二元一次方程 + y = 1.
(1)用含有x的式子表示y；
(2)用含有y的式子表示x；
(3)用适当的数填空，使x = -2,y = 1是方程的解.
解：将方程去分母，得x + 6y = 4.
(1)将方程x + 6y = 4变形，得6y = 4-x，化y的系数为1，得y = -.
(2)将方程x+6y = 4变形，得x = 4-6y.
例2【阅读理解】我们知道方程3x+2y=14有无数多解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如：由3x+2y=14，得y = = 7-x (x，y为正整数）.
要使y = 7-x为正整数，则 x为小于7的整数.
可知x为2的倍数，从而x可取2，4，分别代入y = 7-x，得y的值分别为4，1.
所以3x+2y = 14的正整数解为x=2，y=4和x=4,y=1.
【类比探究】请根据材料求出方程2x+3y=9的正整数解.
【拓展应用】学校需要给一个班52名学生安排宿舍，现有四人间和六人间两种规格的宿舍，在不造成资源浪费的情况下，共有几种分配方法？
解：【类比探究】根据例题方法，由2x+3y=9，得y=3-x.
要使y为正整数，则x为小于3的整数.可知x是3的倍数，从而x只能取3.
易得该方程的正整数解为x=3,y=1.
【拓展应用】设分配四人间x间，六人间y间，根据题意得4x+6y=52.
整理得x=13-y.同理可得y只能取0,2,4,6,8.
易得该方程的正整数解为 x = 1， x=4， x=7， x=10， x = 13,.
y = 8， y=6， y=4， y=2， y = 0
故在不造成资源浪费的情况下，共有五种分配方法：①1个四人间，8个六人间；②4个四人间，6个六人间；③7个四人间，4个六人间;④10个四人间，2个六人间；⑤13个四人间. |
