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8.4 三元一次方程组的解法
教学设计
课题 三元一次方程组的解法 授课人
素养目标 1.了解三元一次方程组的概念.
2.会运用“代入”或“加减”对三元一次方程组逐步消元，进而求解.
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
教学重点 三元一次方程组的解法及“消元”思想.
教学难点 根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
举实际问题，为引入三元一次方程（组）做准备. 【情境导入】
（教材P103材料）请大家看下面这一问题，小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
答：我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方程组，得到上面问题的答案为1元纸币8张，2元纸币2张，5元纸币2张.
观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未知量和三个相等关系.参考二元一次方程组，我们能否把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值呢？
今天我们将学习如何通过方程来解决此类问题.
【教学建议】
教师引导学生思考两种解法应如何设元和列方程（组），不必写出解方程（组）的过程.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
结合解二元一次方程组的“消元”方法，探索三元一次方程组的解法. 探究点 三元一次方程组的有关概念及解法
问题1对于“活动一”中的问题，请结合已知条件写出相等关系：
答：①1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12；
②1元纸币的总钱数+2元纸币的总钱数+5元纸币的总钱数=22；
③1元纸币的数量=2元纸币的数量×4.
问题2设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可以得到哪三个方程？
答：x+y+z=12，①x+2y+5z=22，②x=4y.③
问题3大家知道，方程③是二元一次方程，观察方程①②，结合二元一次方程的定义，方程①②有什么特点？
答：方程①②中含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.
概念引入：结合二元一次方程的定义，我们归纳得出：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做三元一次方程.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
【教学建议】
学生分组讨论合作完成问题，得出三元一次方程（组）的概念，类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性.当三元一次方程组中有且只有一个二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入另两个方程，运用代入法消元，
教学步骤 师生活动
x+y+z=12, ①
x+2y+5z=22, ②
x=4y.③
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
问题4这个方程组能用代入法解么？如果能，请写出解题过程.（请学生上台板演）
解：把③分别代入①②，得到关于y，z的二元一次方程组5y+z=12,
6y+5z=22.
解这个方程组，得 y=2,
z=2.
把y=2代入③，得x=8.
因此，这个三元一次方程组的解为 x=8,
y=2,
z=2.
问题5类比之前探究二元一次方程组解法时的消元思路，你能否运用加减法得到一个二元一次方程组？请尝试解这个三元一次方程组.
归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样.
例1（教材P104例1）解三元一次方程组 3x+4z=7,①
2x+3y+z=9,②
5x-9y+7z=8.③
问题1观察方程组中的各个方程的未知数，你有什么发现？
答：方程①中，不含未知数y；方程②和方程③中，三个未知数均含有.
问题2根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方程组较简便，请写出解答过程.
答：用加减法较简便. 也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数.
教学步骤 师生活动
解：②×3+③，得11x+10z=35.④
①与④组成方程组 3x+4z=7,
11x+10z=35.
解这个方程组，得 x=5,
z=-2.
把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，所以y= .
因此，这个三元一次方程组的解为 x=5,
y=,
z=-2.
问题3你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解法进行比较.
解：由①，得x=.④
把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组
2×+3y+z=9, 9y-5z=13,
5×-9y+7z=8. 整理，得 z-27y=-11.
解这个方程组，得 y=,
z=-2.
把z =-2代入④，得x = 5.
因此，这个三元一次方程组的解为 x=5,
y=13,
z=-2.
很明显，使用加减法比使用代入法更简便.
【对应训练】
1.下列是三元一次方程组的是（ D ）
2.解方程组 2x-y+3z=3,
3x+y-2z=-1,
x+y+z=5.
（1）若先消去x，得到关于y，z的方程组是 -3y+z=-7,
2y+5z=16；
（2）若先消去y，得到关于x，z的方程组是 5x+z=2,
3x+4z=8；
（3）若先消去z，得到关于x，y的方程组是 x+4y=12,
5x+3y=9.（答案均不唯一）
3.教材P106练习第1题.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
由问题条件抽象出三元一次方程组，强化对三元一次方程组解法的运用. 例2(教材P105例2)在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值.
问题1要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列一个三元一次方程组，根据题意，你能否列出此方程组.
答：根据题中给出的三组x，y的对应值，把它们代入等式y=ax2+bx+c中，即可得到三个关于a，b，c的三元一次方程a-b+c=0，4a+2b+c=3和25a+5b+c=60，从而组成一个三元一次方程组
a-b+c=0,
4a+2b+c=3,
25a+5b+c=60.
问题2怎样消元解方程组最简便？
答：观察方程组中三个未知数系数的特点，发现c的系数都是1，故先消去c最容易.
问题3请写出解答过程.
解：根据题意，得三元一次方程组 a-b+c=0,①
4a+2b+c=3,②
25a+5b+c=60.③
②-①，得a+b=1.④
③-①，得 4a+b=10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a+b=1,④
4a+b=10.⑤
解这个方程组，得 a=3,
b=-2.
把a=3,b=-2代入①，得c=-5.因此， a=3,
b=-2,
c=-5，
即a，b，c的值分别为3，-2，-5.
【对应训练】
1.已知2ax+y-zb5cx+z-y与2a11by+z-xc是同类项，则可列方程组
x+y-z=11,
y+z-x=5,
x+z-y=1，
解这个方程组，得 x=6,
y=8,
z=3.
2.教材P106练习第2题. 【教学建议】
教师引导学生观察未知数的系数关系，考虑解此类由三个三元一次方程组成的方程组时，怎么消元，先消哪个元，可使过程更简便.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？解三元一次方程组时有哪些需要注意的问题？如何消元可以使过程更简便？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P106习题8.4全部题目.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 *8.4三元一次方程组的解法
1.三元一次方程（组）的概念.
2.三元一次方程组的解法.
3.三元一次方程组的应用.
教学反思 通过类比二元一次方程组的学习过程探究三元一次方程组，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想.感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯.
1.对三元一次方程组概念的理解要点：
①三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知数即可；②在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解.
2.解三元一次方程组的要点：其解题基本思想是消元,即通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,进而再化为“一元”.消元是有技巧的，通常是缺某元就消某元.
如解方程组 2x+y+z=15，
x+2y+z=16，
x+y+2z=17.
通过观察发现每个方程未知项的系数和相等，每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等.具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可先求和得到x+y+z=12，再分别作差得出x=3，y=4，z=5.该方法能较简洁地求出此类方程组的解.
再如解方程组 x∶y∶z=1∶2∶7，
2x-y+3z=21.
通过观察发现此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x∶y=1∶2得y=2x; 由x∶z=1∶7得z=7x.
例1若|a-b-1|＋(b-2a＋c)2＋|2c-b|=0，求a，b，c的值.
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组
a-b-1=0， a=-3，
b-2a＋c=0， 解得 b=-4，
2c-b=0. c=-2.
例2有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克.先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶的油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶的油倒入甲、乙两桶，这时各桶的油都是16kg.问甲、乙、丙三个油桶中原来各有油多少千克？
解析：三次倒油之后各油桶盛油情况（单位：kg）如下表所示：
解：设甲、乙、丙三个油桶原来各有油x kg，y kg，z kg.
4x-4y-4z=16, x=26,
依题意得 6y-2x-2z=16, 解得 y=14,
-x-y+7z=16. z=8.
答：甲桶中原来有油26 kg，乙桶中原来有油14 kg，丙桶中原来有油8 kg.
例3阅读下列材料，然后解答后面的问题.
已知方程组 3x+7y+z=20,
4x+10y+z=27,求x+y+z的值.
解：将原方程组整理得 2(x+3y)+(x+y+z)=20，①
3(x+3y)+(x+y+z)=27.②
②-①，得x+3y=7.③
把③代入①，得x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组 6x+4y=22,
-x-6y+4z=-1,试求 x+2y-z的值.
解：由题意，将原方程组整理得 2(x+2y-z)+2(2x+z)=22，①
-3(x+2y-z)+(2x+z)=-1.②
②×2，得-6（x+2y-z）+2（2x+z）=-2.③
①-③，得8（x+2y-z）=24.
所以x+2y-z=3. |
