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文件名称： 9.1.1 不等式及其解集教案
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文件大小： 315.11 KB         整理时间：2024-04-08
文件简介：
9.1.1不等式及其解集
教学设计
课题 不等式及其解集 授课人
素养目标 1.理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系.
2.经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建模思想.
3.会用数轴表示简单不等式的解集，渗透数形结合思想.
教学重点 正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上.
教学难点 理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入
设计意图
通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，激发学生的学习兴趣，引入新课. 【情境导入】
我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.
（1）猜大小.同学们知道左图中的两个苹果谁的体积比较大吗？
答：左边的苹果的体积比较大.





（2）猜体重.同学们知道右图中的小明和小颖谁的体重比较大吗？
答：小明的体重比较大.
【教学建议】
利用学生感兴趣的图片、游戏，使学生体会到在现实生活中存在着许多不等关系，比如身高、体重、成绩等，从而引入不等式的概念.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
通过问题引入不等式的概念，使学生体会不等式是表示不等关系的式子，并能根据问题描述列出简单的不等式. 探究点1不等式的概念与列不等式
阅读教材P114至最后一段前为止，想一想：
（1）对于课本中的“问题”,若设车速为x km/h,则：
a.从时间角度看，因为时间=路程速度,所以依题意可列关系式：50x＜23.
b.从路程角度看，因为路程=时间×速度，所以依题意又可列关系式：23x＞50.
（2）像a和b中所列关系式那样，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.“≠”叫做“不等于号”，读作“不等于”，表示两个量不相等（填“相等”或“不相等”）.表示大小关系的“＞”“＜”与表示不等关系的“≠”都是不等号.
（3）在下列所给式子：①a+3≠1;②x＞2;③3＜5;④3x+1;⑤-2＞-1;⑥＜-1;⑦a+b=b+a中，属于不等式的有 ①②③⑤⑥ .
【教学建议】
教师引导学生观察思考，从实际问题出发，得出不等式的概念，再以实际问题为归宿，让学生学会列简单的不等式.
注意强调：判断一个式子是不是不等式，关键看是否含表示大小关系或不等关系的符号，与式子的正确性，
教学步骤 师生活动

【设计意图】
通过列举满足实际问题条件的数值使学生感受不等式的解的概念.


【设计意图】
引入不等式的解集和解不等式的概念，探究用数轴表示不等式的解集的方法. 【对应训练】
1.如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y.(填“＞”“＜”或“=”)

2.教材P115练习第1题.
探究点2 不等式的解
阅读教材P114最后一段至P115思考上方，想一想：
（1）要使汽车在12:00之前驶过A地，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？75km/h呢？72 km/h呢？
答：车速可以是80 km/h或78 km/h，不能是75 km/h或72 km/h.
(2)请你类比方程的解的概念，归纳一下何谓不等式的解.
答：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（3）根据你归纳的不等式的解的概念，判断一下（1）中给出的数哪些是不等式23x＞50的解，哪些不是.
答：80，78是不等式x＞50的解，75,72不是不等式x＞50的解.
【对应训练】
1.下列不是不等式5x-3＜6的解的是（ B ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
2.教材P116练习第2题.
探究点3不等式的解集
阅读教材P115思考至练习上方的部分，想一想：
（1）判断下列数中哪些是不等式x＞50的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.你还能找出这个不等式的其他解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？
答：76,79,80,75.1,90是不等式x＞50的解.能找出其他的解，如：100,77等.有无数个解.发现：当x＞75时，不等式x＞50总成立；而当x＜75或x=75时，不等式x＞50不成立.这就是说，任何一个大于75的数都是不等式x＞50的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于75的数都不是不等式x＞50的解. 是不是整式，或者是否含未知数都无关.





【教学建议】
教师引导学生类比方程的解的概念，确定不等式的解的概念，让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考加深理解.
提醒学生注意：①验证不等式的解时，将其代入看不等式是否成立即可判断.②有时候题目讨论的是不等式的特殊解，如整数解等.

【教学建议】
通过大量列举不等式的解引导学生归纳得出不等式的解集的概念.教学过程中不仅要考虑到数学概念本身的特点，更要注意遵循学生学习数学的规律，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间.同时，
教学步骤 师生活动
（2）什么叫做不等式的解集？它与不等式的解有何区别和联系？什么叫做解不等式？
答：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
不等式的解与不等式的解集的区别和联系如下表：

求不等式的解集的过程叫做解不等式.
（3）不等式的解集有哪几种情况？在数轴上如何表示？空心圆圈表示什么意思？画线方向怎样确定？
答：不等式的解集有以下四种情况，在数轴上的表示如下(a＞0)：

在数轴上表示不等式的解集时，先画数轴，再寻找临界点，最后画方向线.空心圆圈表示解集不包含这一临界点.画线时，大于临界点向右画，小于临界点向左画，且要与数轴平行.
(4)根据以上探究总结一下，要使汽车在12:00之前驶过A地，对于车速有什么要求？不等式x＞50的解集是什么？表示在数轴上是怎样的？由教材P114给出的不等式①能得出这个结果吗？
答：车速必须大于75 km/h.不等式的解集是x＞75.表示在数轴上如图所示.由教材P114给出的不等式①能得出这个结果.

【对应训练】
1.下列说法中,错误的是（ B ）
A.不等式x＜5的整数解有无数个
B.不等式x＞-5的负数解有有限个
C.不等式x+4＞0的解集是x＞-4
D.-40是不等式2x＜-8的一个解
2.教材P116练习第3题.
拓展设问：把上题中得到的各解集分别表示在数轴上.
解：（1）x＞3；（2）x＜4；（3）x＞2.解集在数轴上的表示如图所示.
引导学生体验用数轴表示不等式的解集，以增强学生数形结合的意识.
有时候在数轴上表示不等式的解集会遇到是否包含临界点这一问题，可以跟学生强调包含时则画成实心圆点，表示“≥”或“≤”，这在下一课时将会学到.









活动三：难点突破，提升探究
设计意图
强化根据实际问题中的不等关系列不等式的能力，理解不等式的特殊解的意义. 例 如图，小明和爸爸妈妈玩跷跷板游戏，如果爸爸的体重是72 kg，小明的体重是妈妈体重的一半，小明手中的哑铃重6 kg.
(1)设妈妈的体重为x kg，请你根据图中的不等关系列式.
(2)妈妈的体重可以是40 kg吗？45 kg呢？50 kg呢？

解：（1）x++6＞72.
（2）把x=40,45,50分别代入（1）中的不等式，发现当x=40时，不等式不成立；x=45或50时，不等式成立.所以妈妈的体重不能是40 kg，可以是45 kg或50 kg.
【对应训练】
某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费700元，已知一副羽毛球拍的价格为150元，一筒羽毛球的价格为30元，该校计划购买羽毛球拍4副，且购买后经费要有剩余.
(1)若购买羽毛球x筒，请根据以上描述列出数学关系式；
(2)该校计划至少购买一筒羽毛球，请问有几种购买方案？
解：（1）150×4+30x＜700.
（2）当x=1，2,3时，分别代入不等式，不等式成立；当x=4时，代入不等式，不等式不成立.所以有3种购买方案. 【教学建议】
学生分组讨论交流，教师对于学生的作答予以指导和订正，使学生经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建立不等模型的思想，并能根据题目中的限制条件，求出不等式的特殊解，掌握验证解的方法.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是不等式？不等式的解与解集有什么区别和联系？你会用不等式表示简单问题中的不等关系吗？什么是解不等式？你能在数轴上表示不等式的解集吗？
【知识结构】

【作业布置】
1.教材P119习题9.1第1~3题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 9.1.1不等式及其解集
1.不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子.
2.列不等式.
3.不等式的解和不等式的解集.
4.用数轴表示不等式的解集.
5.解不等式：求不等式的解集的过程.
教学反思 本节课的教学中设置了大量的实际生活情况，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是这种不等关系的具体体现.教学中还充分运用了类比思想，类比已经学习过的方程，让学生体会“等”与“不等”之间的联系，自己去发现、探索，从而得出不等式、不等式的解、不等式的解集的概念.



1.正确理解不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解集，这个解集可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现.不等式的解集要区分于不等式的解，如-4，-2，0，1，2都是不等式2x＜6的解，但不是它的解集.
2.用数轴表示不等式的解集时注意：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.

例1在下列式子：①-2＜0；②2x-5＞0；③x=1；④x2-x；⑤x≠-2；⑥x+2＜x-1中，是不等式的有（ C ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析：不等式有①②⑤⑥，共4个.故选C.
例2把一些书分给同学，设每个同学分x本.若；若分给11个同学，则书有剩余.可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（ C ）
A.分给8个同学，则剩余6本 B.分给6个同学，则剩余8本
C.分给8个同学，则每人可多分6本 D.分给6个同学，则每人可多分8本
解析：设每个同学分x本，8（x+6）的意义为若分给8个同学，则每人可多分6本，由不等式8（x+6）＞11x,可得：把一些书分给几名同学，若分给8个同学，则每人可多分6本；若分给11个同学，则书有剩余.故选C.
例3下列说法错误的是（ D ）
A.不等式5x-10＞0的解有无数个 B.3是不等式5x-10＞0的解
C.不等式5x-10＞0的解集是x＞2 D.x＞3是不等式5x-10＞0的解集
解析：2.9也满足不等式5x-10＞0，故x＞3不是不等式5x-10＞0的解集，故D选项错误，符合题意；A，B,C选项的说法均正确，不符合题意.故选D.
例4判断对错：
（1）1是不等式x＜2的解；（√） （2）不等式x＜10的整数解有无数个；（√）
（3）a-3≠b是不等式；（√）  （4）不等式-3x＞9的解集是x=-3.（×）
解析：（1）因为1＜2，所以1是不等式x＜2的解.故答案为√.
（2）因为整数有无数个，所以不等式x＜10的整数解也有无数个.故答案为√.
（3）a-3≠b是不等式.故答案为√.
（4）当x=-3时，-3x=9，与-3x＞9矛盾.故答案为×.
例5如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数：-1，0，1.

解析：设被污染的部分的数为x.由数轴可知-1.3＜x＜1.6.因为x为整数，所以x=-1或0或1.故答案为-1，0，1.
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