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9.1.2 不等式的性质
教学设计
课题 不等式的性质 授课人
素养目标 1.通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质.
2.初步体会不等式与等式的异同.
3.会运用不等式的性质解决简单的问题.
教学重点 理解并掌握不等式的性质.
教学难点 正确运用不等式的性质.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，复习导入
设计意图
通过复习等式的性质，启发学生对不等式的性质进行初步思考. 【回顾引入】
对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式x+3＞6的解集是x＞3,不等式2x＜8的解集是x＜4.但是对于比较复杂的不等式，例如＞,直接得出解集就比较困难.因此，还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质.
回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来.
等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？
【教学建议】
通过引导学生回顾旧知，为下一步类比学习不等式的性质做好铺垫和准备，并使学生明确本节课的学习目标，自然而然地进入新知识的学习.
活动二：问题引入，探究新知
设计意图
引导学生通过类比、归纳的数学思想总结出不等式的性质. 探究点1不等式的性质
阅读教材P116思考至P117练习上方的部分，想一想：
（1）类比等式的性质1，我们来看看下列问题：
a.用“＞”或“＜”完成下列两组填空：
第一组：5＞3,5+2＞3+2,5-2＞3-2,5+0＞3+0.
第二组：-1＜3,-1+2＜3+2,-1-2＜3-2,-1+0＜3+0.
b.观察不等号的方向，你发现了什么？换一些其他的数，这个发现仍然成立吗？
答：不等式两边加或减同一个数，不等号的方向不变.仍然成立.
c.请你类比等式的性质1归纳出不等式的性质1.
答：不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果a＞b，那么a±c＞b±c. 【教学建议】
教师引导学生通过类比思想进行迁移，使学生经过计算、观察、分析、猜想、验证等过程，体会不等式的性质的结论形成的推理过程，培养学生的逻辑思维能力和分析总结能力，
教学步骤 师生活动
设计意图
类比解方程的方法引导学生利用不等式的性质解简单的不等式，为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫. d.我们也可以从实际角度解释不等式的性质1.如今年老师的年龄为a岁，学生的年龄为b岁(a＞b)，5年前老师的年龄为(a-5)岁，学生的年龄为(b-5)岁，不等关系表示为a-5＞b-5；10年后老师的年龄为(a+10)岁，学生的年龄为(b+10)岁，不等关系表示为a+10＞b+10.
（2）类比等式的性质2，我们来看看下列问题：
a.用“＞”或“＜”完成下列两组填空：
第一组：6＞2,6×5＞2×5,6×(-5)＜2×(-5).
第二组：-2＜3,(-2)×6＜3×6,(-2)×(-6)＞3×(-6).
b.观察不等号的方向，你发现了什么？换一些其他的数，这个发现仍然成立吗？
答：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变.仍然成立.
c.由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，请你类比等式的性质2归纳出不等式的性质2和性质3.
答：不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc或＞.
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc或＜.
（3）比较不等式的性质2和性质3，它们有什么区别？再比较等式的性质和不等式的性质，它们有什么异同？
答：等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时，相等关系不变.不等式的性质有三条，它们表明了不等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时，大小关系有时不变，有时改变.对于乘法运算，不等式的性质要分乘数的正、负分别论述，两者的结果不同.
【对应训练】
1.教材P117练习.
2.根据不等式的性质，下列变形正确的是（ B ）
A.由a＞b得ac2＞bc2 B.由ac2＞bc2得a＞b
C.由-a＞2得a＜2 D.由2x＋1＞x得x＜-1
探究点2 利用不等式的性质解简单的不等式
阅读教材P117例1至P118全部内容，想一想：
（1）解不等式与解方程相类似，就是借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式.不同的是把未知数的系数化为1时，要特别注意：若未知数的系数为负数，不等式两边同除以这个系数时，不等号的方向改变.
（2）符号“≥”“≤”的名称是什么？读法是什么？“≥”与“＞”的意思有什么区别？“≤”与“＜”呢？
并通过创设生活中的实际情境解释不等式的性质1，再加上与等式的性质比较，加深学生的理解和记忆.
教学中应强调：
（1）在运用不等式的性质对不等式进行变形时，两边要“同时”进行“相同”的变形，且要注意符号的方向是否需要改变.
（2）不等式还具备其他性质，比如：①对称性：若a＞b,则b＜a;②传递性：若a＞b,b＞c,则a＞c;③同向相加性：若a＞b,c＞d,则a+c＞b+d.有时解题时可直接运用，这里不进行深入探讨.
【教学建议】
教师引导学生自主思考，培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力，
教学步骤 师生活动
设计意图
引入实际问题，通过问答的形式逐步解决，培养学生实际应用的能力.
（3）形如a≥b或a≤b的式子，也具有不等式的三个性质，即：若a≥b,则a±c≥b±c,ac≥bc或≥(其中c＞0),ac≤bc或≤ (其中c＜0).
（4）用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别？不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示？
答：实心圆点表示取值范围内包含这个数，而空心圆圈则表示不包含这个数.
不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下：
（5）用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
①［教材P117例1（3）］x＞50；②［教材P117例1（4）］-4x＞3；
③-3x+2≤8；④≤-.
解：①根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以×x＞×50，x＞75.解集在数轴上的表示如图①所示.
②根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以-＜，x＜-.解集在数轴上的表示如图②所示.
③根据不等式的性质1，不等式两边减2，不等号的方向不变，所以-3x+2-2≤8-2，-3x≤6.根据不等式的性质3，不等式两边除以-3，不等号的方向改变，所以-3≥，x≥-2.解集在数轴上的表示如图③所示.
④根据不等式的性质1，不等式两边减，不等号的方向不变，所以-≤--，≤-.根据不等式的性质2，不等式两边乘12，不等号的方向不变，所以12×≤ 12×()，x ≤ -. 解集在数轴上的表示如图④所示.
【对应训练】
1~2.教材P119练习第1~2题.
探究点3利用不等式的性质解决实际问题
（教材P119例2）如图，某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm.容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积.
（1）新注入水的体积V与原有水的体积的和
（2）与容器的容积有什么关系？
答：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能
超过容器的容积.
（2）新注入水的体积V可以是负数吗？不能.
（3）你能写出V的取值范围吗？
答：由（1）知V＋3×5×3≤3×5×10，即V≤105.
由（2）知V≥0，
所以V的取值范围是V≥0并且V≤105.
（4）试将V的取值范围在数轴上表示出来.你认为在数轴上表示需要注意什么？
在数轴上表示V的取值范围如图所示.需要注意：这是一个包含两端点的区间（闭区间）.
【对应训练】
用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是4m/s,为了让点导火索的战士在爆破时能够跑到100m以外(不含100m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米?请将解集在数轴上表示出来.
解：设导火索的长度是x cm.
根据题意，得×4＞100,解得x＞20.
故导火索的长度应大于20 cm.
在数轴上表示x的取值范围如图所示. 强调“≤”“≥”与“＜”“＞”在意义上和数轴表示上的区别.
提醒学生：①初学解不等式时与解方程类似，每一步之前要写上变形的依据，有利于加深记忆；②有时需要多次运用性质才能求得结果，此时尤其注意每一步变形都要看清符号；③在数轴上表示解集时注意方向，并根据结果确定是选用空心圆圈还是实心圆点.
【教学建议】
此类实际问题容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情.教学中让学生体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题，从而感受到知识的应用价值.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
强化学生根据题意列不等式，并能根据不等式的性质求未知数的取值范围的能力. 例若不等式2x＜4的解都能使关于x的不等式3x＜a+5成立，求a的取值范围.
解：对于不等式2x＜4，不等式两边除以2，得x＜2.
对于不等式3x＜a+5，不等式两边除以3，得x＜.
根据题意，得≥2，不等式两边乘3，得a+5≥6.不等式两边减5，得a≥1.
所以a的取值范围是a≥1.
【对应训练】
二元一次方程组 2x+3y=10,
4x-3y=2
的解满足不等式ax＞4-y,求a的取值范围.
解：解方程组 2x+3y=10,
4x-3y=2,
得 x=2, 把 x=2,
y=2. y=2 代入不等式ax＞4-y,
得2a＞4-2,即2a＞2,不等式两边除以2,得a＞1.
所以a的取值范围是a＞1. 【教学建议】
学生先自行探索解决，教师汇总后集中讲解.最后提醒学生解决此类型题目的关键在于题目的解读，挖掘出隐含的不等关系，列出不等式后再利用不等式的性质解决问题.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：不等式的性质有几条？各是什么？你能利用性质对不等式进行变形吗？你能利用不等式的性质解简单的不等式吗？你能解决一些简单的实际问题吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P120习题9.1第4~9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课通过类比等式的性质，结合生活中的实例组织学生探索，得到不等式的三个性质，并探讨了运用不等式的性质对不等式进行变形和解简单的不等式，以及解决简单的实际问题.在这一过程中需要充分调动学生的积极性，让所有学生都参与其中，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造一个自主学习、主动发展的广阔空间，使学生快乐地成为学习的主人.
不等式的其他性质：
（1）若a＞b，则b＜a；
（2）若a＞b，b＞c，则a＞c；
（3）若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d.
例1实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（ C ）
A.-a-c＞-b-c B.ac＞bc
C.|a-b|=a-b D.a＜-b＜-c
解析：由图知：a＞b，那么-a＜-b，-a-c＜-b-c，故A选项错误，不符合题意；由图知：a＞b，c＜0，那么ac＜bc，故B选项错误，不符合题意；由图知：a＞b，那么a-b＞0，|a-b|=a-b，故C选项正确，符合题意；由图知：|a|＞|b|，|a|＞|c|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞-c＞-b，故D选项错误，不符合题意.故选C.
例2根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果a-b＜0，那么a＜b；②如果a-b=0，那么a=b；③如果a-b＞0，那么a＞b.
(2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小；
②若2a+2b-1＞3a+b，比较a，b的大小.
解：（2）①因为4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3＞0，
所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1.
②因为2a+2b-1＞3a+b，所以2a+2b-3a-b＞1，即b-a＞1.
因为1＞0，所以b-a＞0.所以a＜b.
例3用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表：
（1）现配制9kg这种饮料，要求至少含有4000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（单位：kg）应满足的不等式；
（2）在（1）的条件下，如果还要求甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x（单位：kg）应满足的另一个不等式.
解：（1）由题意，得500x+80（9-x）≥4000.
（2）由题意，得16x+4（9-x）≤70. |
