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七下数学教案
文件名称:
第2课时 一元一次不等式的应用教案
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文件大小:
737.97 KB
整理时间:
2024-04-08
文件简介:
第2课时 一元一次不等式的应用
教学设计
课题 一元一次不等式的应用 授课人
素养目标 1.掌握用一元一次不等式解决实际问题的步骤,会用一元一次不等式解简单的实际问题.
2.寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型.
3.初步认识一元一次不等式的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点 由实际问题中的不等关系列出不等式.
教学难点 列一元一次不等式描述实际问题中的不等关系.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一:情境建模,问题导入
设计意图
抛出问题,为后续学习不等式的应用做铺垫. 【情境导入】
某商店在一次促销活动中规定:消费者消费满200元就可享受打折优惠.一名同学为班级买奖品,准备买6本影集和若干支钢笔.已知影集每本15元,钢笔每支8元,他至少买多少支钢笔才能享受打折优惠?我们知道,这道题蕴含的是不等关系,用不等式表示这样的关系,就能把实际问题转化为数学问题,从而通过解不等式得到实际问题的答案.那么列一元一次不等式解应用题的步骤是什么?这道题该如何解答呢?让我们在本节课的学习中一起来探讨吧! 【教学建议】
通过商品销售中的不等关系,渗透数学建模思想,启发学生思考解题思路.
活动二:实践交流,探究方法
设计意图
引导学生找出问题中表示不等关系的“关键词”,根据题目中蕴含的不等关系列出不等式,类比归纳利用一元一次不等式解应用题的一般步骤,并据此解决实际问题. 探究点一元一次不等式的实际应用
探究1阅读教材P124练习下方的部分,想一想:
(1)若题目中含有“多于、少于、高于、低于、超过、不多于、不少于、不高于、不低于、不超过、至多、至少”等字眼时,指明问题中蕴含着不等关系,根据这个关系,可以设未知数列出不等式.
拓展:各词汇所对应的不等号类型如下:
(2)教材P124例2中未知数的设法与列方程解应用问题中未知数的设法有没有区别?题目中不等关系是如何体现的?
答:没有区别.“超过70%”以“>70%”的形式体现.
(3)类比设未知数列一元一次方程解应用题的步骤,下表归纳了设未知数列一元一次不等式解应用题的一般步骤,请在表格中完成对例2的逐步拆解,找到相应的过程.
【教学建议】
学生分组讨论总结,使学生经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程,提高分析解决问题的能力.注意强调:①虽然题目中有“超过”等字眼,这表示应建立不等式模型,但设未知数时不可出现,应通过不等号来体现.②列不等式是解题过程中的关键步骤,
教学步骤 师生活动
(4)请参照例2解决“活动一”中的问题.
解:设他购买了x支钢笔.根据题意,得15×6+8x≥200.
移项,合并同类项,得8x≥110.系数化为1,得x≥13.75.
由x应为非负整数,得x≥14.
答:他至少买14支钢笔才能享受打折优惠.
探究2阅读教材P125例3,想一想:
(1)设购物款累计达到x元,试用含x的式子填写下表:
(2)你能从表格中看出在哪家商场购物花费少吗?
因此题中的不等关系一定要找准.③在某些特殊情况下,设未知数的角度可能不止一种,且不同的设元方法可能对应不同的解题难度,但无论选用哪种,其关键依然是要找准不等关系进行列式.
【教学建议】
学生分组讨论,教师总结,把一个较难的问题采用表格的形式进行分解,层层递进引导,提高学生分析问题的能力.提醒学生:在这类问题中,一般以花费相同为“界点”,再分大于或小于“界点”的情况进行讨论.
教学步骤 师生活动
a.当0<x≤50时,在两家商场购物花费一样,因为都不享受优惠.
b.当50<x≤100时,在乙商场购物花费少,因为乙商场有优惠,甲商场没有.
c.当x>100时,若在甲商场购物花费少,则有不等式:50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100),解得x>150;若在乙商场购物花费少,则有不等式:50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100),解得x<150;若在两家商场购物花费一样,则有方程:50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100),解得x=150.
(3)你能综合(2)中的分析,给出一个合理化的消费方案吗?
答:当累计购物不超过50元或等于150元时,可以在两家商场中任意选择一家进行消费;当累计购物超过50元且未达到150元时,在乙商场进行消费;当累计购物超过150元时,在甲商场进行消费.
(4)此类型题目属于实际问题中的分段计费问题和方案选择问题,其中涉及了哪些数学思想?
答:分类讨论思想和数学建模思想.
【对应训练】
1~2.教材P125练习第1~2题.
活动三:重点突破,提升探究
设计意图
对本节课的难点,方案选择问题进行强化训练. 例为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量如下表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)该企业有哪几种购买方案?
(2)若企业每月产生的污水量为2040 t,为了节约资金,应选择哪种购买方案?
解:(1)设购买A型污水处理设备x台,则购买B型污水处理设备为(10-x)台.
由题意得12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.
因为x取非负整数,所以x可取0,1,2.
所以有三种购买方案:①购买B型污水处理设备10台;②购买A型污水处理设备1台,B型污水处理设备9台;③购买A型污水处理设备2台,B型污水处理设备8台.
(2)由题意得240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1,所以x为1或2.
当x=1时,购买资金为12×1+10×9=102(万元);
当x=2时,购买资金为12×2+10×8=104(万元).
因为102<104,所以为了节约资金,应购买A型污水处理设备1台,B型污水处理设备9台. 【教学建议】
学生自主解答,教师适时提醒学生:较复杂实际问题的解题关键依然是从中提取描述不等关系的信息,从而建立不等式模型解题.此类型题目一般要进行方案的比较,涉及的是不等式的特殊解,解题时注意未知数的取值范围,再把符合限制条件的几种方案进行比较,找出最大或最小值,从而确定最佳方案.
活动四:随堂训练,课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么?你会列一元一次不等式解决实际问题吗?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P126习题9.2第5~9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课通过让学生经历将实际问题抽象为一元一次不等式模型的过程,让学生初步体会到一元一次不等式是刻画现实世界的有效的数学模型.教学中,通过类比列方程解决实际问题的步骤探索列不等式解决实际问题的步骤,让学生领悟分析关键词、找不等关系是解决实际问题的关键.通过本节课的学习,学生进一步掌握解一元一次不等式、列不等式解决实际问题的步骤,达到了本节课的教学目标.
列一元一次不等式解应用题的方法:“至少”类字词是建立不等式的关键词,也是列不等式的依据.
如:商品销售问题的基本关系是:售价-进价=利润.读懂题意列出不等式是解题关键.
竞赛积分问题的基本关系是:得分-扣分=最后得分.本类型题目涉及不等式的整数解,取整数解时要注意关键词:“至多”“至少”等.
分段计费问题中的费用一般包括两个部分:基本部分的费用和超出部分的费用,根据费用之间的关系建立不等式求解即可.
最优化问题:在确定最优方案时,应把几种情况进行比较,找出最大或最小值.
例1某景区售出的门票分为成人票和儿童票,成人票每张100元,儿童票每张50元.若干家庭结伴到该景区旅游,成人和儿童共30人.售票处规定:一次性购票数量达到30张,可购买团体票,每张票均按成人票价的八折出售,请你帮助他们选择花费最少的购票方式.
解:设参加旅游的儿童有m人,则参加旅游的成人有(30-m)人.
根据题意得,按团体票购买时,总费用为100×80%×30=2400(元).
分别按成人票、儿童票购买时,总费用为100(30-m)+50m=(3000-50m)元.
①若3000-50m=2400,解得m=12.即当儿童为12人时,两种购票方式花费相同.
②若选择购买团体票花费少,则3000-50m>2400,解得m<12.即当儿童少于12人时,选择购买团体票花费少.
③若选择分别按成人票、儿童票购票花费少,则3000-50m<2400,解得m>12.即当儿童多于12人时,选择分别按成人票、儿童票购票花费少.
例2小张准备重新装修自家店面,现有甲、乙两家装修公司可供选择,这两家装修公司提供的信息如表所示:
已知甲、乙两家装修公司完成装修所需时间相同,设需要x天装修完毕,请解答下列问题:
(1)请分别用含x的式子表示出甲、乙两家公司的装修总费用.
(2)当装修天数为多少时,两家公司的装修总费用一样多?
(3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算.
解:(1)选择甲装修公司的装修总费用为200×10x+3000=(2000x+3000)元;
选择乙装修公司的装修总费用为150×15x+2000=(2250x+2000)元.
(2)依题意,得2000x+3000=2250x+2000,解得x=4.
答:当装修天数为4时,两家公司的装修总费用一样多.
(3)当2000x+3000>2250x+2000时,x<4,所以当0<x<4时,选择乙装修公司更合算.
当2000x+3000=2250x+2000时,x=4,所以当x=4时,选择两家装修公司装修总费用一样多.
当2000x+3000<2250x+2000时,x>4,所以当x>4时,选择甲装修公司更合算.
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