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10.2 直方图
教学设计
课题 直方图 授课人
素养目标 1.掌握画频数分布直方图的步骤，会画频数分布直方图，并能从图中读取正确信息，提高读图能力.
2.通过小组合作与交流，经历数据的收集与处理的过程，学会分析数据的方法.
教学重点 掌握画频数分布直方图的步骤，会画频数分布直方图.
教学难点 画频数分布直方图，并能从图中读取正确信息.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，导入新课
设计意图
回顾前面学过的统计图，引出新的统计图. 【回顾导入】
在前面我们学习了哪几种描述数据的统计图?它们各自的优点是什么?
答：前面学习的描述数据的统计图主要有条形图、扇形图、折线图.其中，条形图易于比较每组数据之间的差别，扇形图易于显示每组数据占总体的百分比，折线图易于显示数据的变化趋势.
今天我们要学习一种新的统计图：直方图.
【教学建议】
先给学生展示一幅直方图，形成一定的直观印象.
活动二：引入新知，探究学习
设计意图
引导学生通过频数分布表来绘制频数分布直方图. 探究点频数分布直方图
阅读教材P145的问题.
（1）为了解决教材上的问题，选择一个合适的身高范围，我们要知道什么？
答：要知道63名同学的身高分布情况.
（2）你能用前面学过的统计图解决这个问题吗？
答：不能.一共有63个数据，数据较多，直接用前面学过的统计图来描述数据，难以看出数据分布的特征和规律.
为了更好地描述这些数据的分布情况，我们可以通过对这些数据适当分组来进行整理.今天要学习的直方图，正是在此基础上绘制出来的.
下面我们按步骤介绍直方图的绘制过程.
步骤1：计算最大值与最小值的差
最大值-最小值=172-149=23，说明身高的变化范围是23.
步骤2：决定组距和组数
分组时，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距.根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同.本问题中我们作等距分组，即令各组的组距相同.如果从最小值起每隔3作为一组,那么由于= =7,所以要将数据分成8组：149≤x＜152,152≤x＜155,…,170≤x＜173.这里组数和组距分别为8和3.
【教学建议】
给学生说明，数据分组时，可以先确定组距，再根据组距确定组数；也可以先确定组数，再根据组数确定组距.
教学步骤 师生活动
补充说明:组距和组数的确定没有固定的标准,要凭借经验和所研究的具体问题来决定.将一批数据分组,一般数据越多分的组数也越多.当数据在100个以内时,按照数据的多少,常分成5~12组.
步骤3：列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数(叫做频数).整理可以得到后面的频数分布表：
(1)根据表格，你知道该选哪些学生参加比赛吗？
答：从表中可以看出，身高在155≤x＜158，158≤x＜161，161≤x＜164三个组的人数最多，一共有12＋19＋10=41(人).因此可以从身高在155cm至164cm(不含164cm)的同学中挑选参加比赛的同学.
(2)上面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组.如果组距取2或4，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的40名同学呢？
答：组距取2时，分成12个组，能选出需要的40名同学；组距取4时，分成6个组，不能很好地选出需要的40名同学.
步骤4：画频数分布直方图
前面对63名同学的身高做了数据的整理,并且也列出了频数分布表,为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表中的数据画出频数分布直方图，如图所示.
观察频数分布直方图，图中以什么来表示各组频数的大小？
答：频数分布直方图中，以小长方形的面积来表示各组频数的大小.如图，以155~158对应的小长方形为例说明：
【教学建议】
数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则.“不重”是指一个数据只能分在其中的一个组，不能在其他组中重复出现；“不漏”是指在所分成的所有组别中，每个数据都能分在其中的某一组中，不能遗漏.
分组时，为了使数据“不重不漏”，统计中有不同的方法.教材中采用了“上限不在内”的原则.
【教学建议】
不必过多涉及一般直方图，重点介绍用长方形的高表示频数的直方图.
教学步骤 师生活动
等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距).因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.前面的各组数据可按如图的方式表示.
例1阅读教材P148例题，将下面的过程补充完整.
（1）在样本数据中，最大值是7.4，最小值是4.0，它们的差是3.4.
（2）取组距为0.3,则组数为12.
(3)列频数分布表.
(4)画频数分布直方图.
从频数分布表和频数分布直方图可以看到，麦穗长度大部分落在5.2cm至7.0cm之间，其他范围较少.长度在5.8≤x＜6.1范围内的麦穗根数最多，有28根，而长度在4.0≤x＜4.3,4.3≤x＜4.6,4.6≤x＜4.9,7.0≤x＜7.3,7.3≤x＜7.6范围内的麦穗根数很少，总共只有7根.
对应训练
1.一组数据有90个，其中最大值为141，最小值为40，取组距为10，则可以分成（ C ）
A.9组 B.10组 C.11组 D12
2.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm)的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度在16≤x＜32这个范围的占比为70%.
3.教材P149练习.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
直方图的理解，学会根据直方图作决策. 例2某中学为了解该校1200名学生在校午餐所需的时间，随机抽查了50名学生在校吃午餐所花的时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图［其中A组：5＜x≤10；B组：10＜x≤15；C组：15＜x≤20；D组：20＜x≤25；E组：25＜x≤30，x（单位：min）为午餐时间］.根据直方图提供的信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图.
（2）估计该校1200名学生午餐所花时间在B组的人数.
（3）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15min，20min，25min，30min中选择一个作为午餐时间，你认为应选择多少分钟为宜？请说明理由.
解：（1）C组（15＜x≤20）的频数为50-4-12-2-2=30，补全频数分布直方图如图所示.
（2）B组（10＜x≤15)对应的频数为12，则1200×=288.
故估计该校1200名学生午餐所花时间在B组的人数为288.
（3）选择20min.理由如下：样本中有46人能在20min内完成用餐，占比92%.可以鼓励20min没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率. 【教学建议】
给学生介绍，从直方图可以看出数据的整体分布情况，其中最集中的数据分布范围，往往可以给调查者的决策起到参考作用.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：频数分布直方图的绘制要经历哪几个步骤？组数和组距是怎样确定的？频数分布直方图有什么特点，它的作用主要体现在哪里？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P150习题10.2全部题目.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 10.2直方图
1.计算最大值与最小值的差.
2.决定组距和组数.
3.列频数分布表.
4.画频数分布直方图.
教学反思 合理地绘制出直方图对学生来说存在一定难度，根据直方图作决策对学生来说也是一个比较新颖的开放性问题，要鼓励学生勇于尝试，表达自己的意见.
1.在等距分组的频数分布直方图中，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距），可以此为突破口解决问题.
例1对150个数据等距分组整理得到频数分布直方图，测得所有小长方形的高之和为33cm，其中最高的小长方形的高为11cm，则这个最高的小长方形对应的频数为50.
解析：因为等距分组，所以=常数（组距）.设最高的小长方形对应的频数为a，则=，所以a=50.故答案为50.
2.在频数分布表或频数分布直方图中，有时问题涉及的范围不是某一个分组，而是几个连续分组合并起来的范围，解题时注意将各组的频数（或百分比）加总再求解.
例2某班50名学生身高（单位：cm）的频数分布直方图中，从左起第一（140≤x＜150）、二（150≤x＜160）、三（160≤x＜170）、四（170≤x＜180）个小长方形的高的比是1∶3∶5∶1，那么身高150cm以下的学生有5名，身高160cm及160cm以上的学生占全班人数的60%.
解析：根据题意可知这批数据是等距分组，所以小长方形的高的比即为对应频数之比.那么身高150cm以下（即第一组）的学生有50×=5（名），身高160cm及160cm以上（即第三组和第四组）的学生占全班人数的=60%.故答案分别为5，60.
例为创建文明校园，树立新风，某校开展了以“学习党史，团结力量”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了150名学生的成绩，频数分布直方图中m=15；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计全校成绩优秀的学生人数.
解：（1）解析：本次调查一共抽取的学生人数为30÷20%=150；m=150×10%=15.故答案为150，15.
（2）C等级的学生人数为150-15-30-45-24=36,补全学生成绩频数分布直方图如图所示.
（3）2000×=920（人）.
答：估计全校成绩优秀的学生有920人.
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