| 文件名称： |
2023-2024学年高二数学上学期10月第一次月考试题（西安市第八十三中学含解析） |
| 下载地址： |
[ 下载地址1 ] |
| 文件大小： |
1.14 MB 整理时间：2023-11-15 |
| 文件简介： |
|
|
西安市第八十三中学
2023-2024学年第一学期高二年级第一次月考考试数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）
1. 已知，且，则的值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为，
所以，解得，
故选：A
2. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，
故选：D
3. 已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面位置关系的空间向量表示分别判断各个小题即可.
【详解】①，判断正确；
②，判断正确；
③，判断错误；
④或，判断错误.
故选：B
4. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A. B. 1或 C. 或3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解.
【详解】由圆可化为，可圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或.
故选：C.
5. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，,
所以点到直线的距离为.
故选：A
6. 若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意，直线可化为，
当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，
设圆的圆心为，半径，
当直线时，取得最小值，且最小值为，
此时弦长对的圆心角为，所以劣弧长为.
故选：B.
7. 若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.
【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.
故选：A.
8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
【详解】记，则为直线斜率，
故当直线与半圆相切时，得k最小，
此时设，故，解得或（舍去），
即．
故选：C
二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9. 设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. ，，不共面；
C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使；
D. 则，，一定能构成空间的一个基底
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间向量基本定理，以及基底的定义，即可依次求解．
【详解】因为，，是空间一个基底，
对A，若，，则，不一定垂直，A错误；
对B，由基底的定义知，，不可能共面，B正确；
对C，，，是空间一个基底，根据空间向量基本定理知：对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使，C正确；
对D，假设，，共面，则，
化简得，因为，，不共面，
所以，解得，故假设成立，D错误；
故选：BC
10. 设直线与，则（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，l、n间的距离为 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.
【详解】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故选：ACD
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 若三点共线，则的值为0；
B. 已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为；
C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1；
D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
由于三点共线，所以共线，
所以，A选项正确.
B选项，，结合图象可知，直线的斜率的取值范围为，
所以B选项错误.
C选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，
C选项正确.
D选项，当直线过原点时，设直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，直线方程为或.
当直线不过原点时，设直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或（舍去）.
直线方程为，
综上所述，与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，D选项正确.
故选：ACD
12. 在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模(表示向量，的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A. B. 与共线
C. D. 与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据所给的新定义及正方体的性质一一计算可得.
【详解】对于A，对于A，设正方体的棱长为，在正方体中，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于B，在正方形中，，又因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于C，由，和构成右手系知，与方向相反，
又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误；
对于D，设正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以D对．
故选：ABD．
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知空间向量的夹角为，，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答.
【详解】由空间向量的夹角为，，得，
所以.
故答案为：
14. 经过点作圆的切线,则切线的一般式方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得圆心和半径，判断出在圆上，由此求得切线方程.
【详解】圆的圆心为，半径为.由于满足圆的方程，所以在圆上.而，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，属于基础题.
15. 已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．
【详解】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，
圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为9．
故答案为：．
【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点，属于中档题．
16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：①；②平面截正方体所得的截面图形是正五边形；③存在点，使得；④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据平面的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】①：建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设，设，
即，
即，
因为，
所以，即，因此本序号结论正确；
②：如图所示，直线与的延长线交于点，连接，
交于，连接，则五边形就是平面截正方体所得的截面，所以本序号结论正确；
③：由①可知：，
假设存在点，使得，
所以，
化简，得，或舍去，
因此假设成立，故本序号结论正确；
④：点在的射影为，
所以点到的距离为
，
当时，，
所以面积的最小值为，因此本序号结论正确，
故答案为：①②③④
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用平面性质判断截面的形状、利用空间向量数量积的坐标表示公式.
四、解答题（本大题6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知空间两个向量，
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积公式即可求解；
（2）根据垂直向量数量积为0，代入求解即可.
【小问1详解】
，
故与的夹角的余弦值为.
【小问2详解】
，
，
若向量与互相垂直，
则有，
所以，
所以，
整理得，，
解得，.
故或.
18. 在平面直角坐标系中，已知四点.
（1）求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程.
【答案】（1），在圆上
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆方程为，然后将三点坐标代入可求出圆的方程，再将点代入圆的方程验证即可，
（2）由已知可求得圆心到直线距离为1，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况求解即可.
【小问1详解】
设圆方程为
把三点坐标代入可得：，
解得，
所以圆方程是
把点坐标代入可得：，故在圆上.
【小问2详解】
由，得，
所以圆心，半径为，
因为弦长等于4，所以圆心到直线距离为，
当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为1，满足题意
若直线的斜率存在，设直线方程为
圆心到直线的距离，解得
所以过点的直线为或.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB，点O为PB的中点.，.
（1）求证：直线平面ABCD；
（2）求直线PB与平面OAC夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由线面垂直性质定理得，从而由线面垂直的判定定理得证题设线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．
【小问1详解】
∵，，
∴在中，，
∴，
又平面PAB，平面PAB，
∴，
又，AB、平面ABCD，
∴直线平面ABCD.
【小问2详解】
由（1）得，，，建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
∴，，，
设平面OAC的法向量为，
则，即，令，则，，
∴，
∴，
故直线PB与平面OAC夹角的正弦值为.
20. 已知圆，圆C过点且与圆O相切于点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，再由圆C与圆O相切，切点为，得到切点在直线上，求出直线方程，得到代入，得到方程，从而求出圆心和半径，得到圆C的标准方程；
（2）通过分析得到当最长时，直角边AP的长度最长，此时四边形PAOB面积取得最大值，作出辅助线，求出最长为，进而求出最大值，求出四边形PAOB面积的最大值.
【小问1详解】
设圆C的圆心为，
由题意得：，化简得，
因为圆C与圆O相切，切点为，
所以切点在直线上，直线为，
将代入中，得，
联立与可得：，圆心为，
故半径为，
故圆C的标准方程为；
【小问2详解】
四边形PAOB面积可看作两个全等的直角三角形PAO面积与POB面积之和，
直角三角形PAO中直角边AO长度为，故只需另一条直角边AP的长度最长即可，
由勾股定理可知只需最长即可，
显然连接并延长，交圆C于点，此时最长，
为，
此时最长，为
四边形PAOB面积的最大值为.
21. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
22. 已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；点N为
【解析】
【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可；
（2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解.
小问1详解】
设，因为P是圆C上动点，所以，
因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，
设，因为E中点，所以，即，
所以，即，
所以点E的轨迹方程为.
【小问2详解】
当直线轴时，x轴平分.
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，．
若x轴平分，则，
∴，∴，
∴，
∴，
所以当点N为时，能使得x轴平分总成立 |
| 下载帮助： |
 发表评论 加入收藏夹 错误报告 |
| 相关文件： |
无相关信息 |
|
|
|
