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2023年秦都区电建学校二模
数学试卷
注意事项：
1.本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。全卷共6页，总分120分。考试时间120分钟。
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点(A或B)。
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共24分)
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的)
1.-8的立方根是
A.-8 B.8 C.-2 D.2
2.某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图为
3.2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国发明专利有效量达4212000件，数据4212000用科学记数法表示为
A.4.212×10 ⁶ B.4.212×10³ C.4212×10³ D.0.4212×10 ⁷
C.110° D.75°
5.已知y关于x的一次函数yy=( k-3)x+1( k<3), 则该函数图象不经过的象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
或 或 或2
第二部分(非选择题 共96分)
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9.分解因式： m³-m= .
10.一个多边形的每个外角都是36°,则这个多边形的内角和为 °.
11.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和'的顶点都在格点上，且. 是由△ABC向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到的,则m+n的值为 .
12.如图，点A为反比例函数第三象限内图象上一点，连接AO并延长，交该函数第一象限内的图象于点B，过点B作BC∥x轴交反比例函数 的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为 .
13.如图,在正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点,且AP=AB=4,点H为线段DP上一动点,过点H作HE⊥AC于点E,作HF⊥AD于点F,则HE+HF的值为 .
三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程)
14.(本题满分5分)
15.(本题满分5分)
解不等式： 并写出该不等式的最小整数解.
16.(本题满分5分)
先化简，再求值： 其中a=-1.
17.(本题满分5分)
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在边AB上,且AE=2,BE=3,请用尺规作图法在CD边上求作一点F，使得DF：CF=2：3.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本题满分5分)
如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D为边AB的延长线上一点，连接CD，若∠BCD=15°,CD=4,求AB的长.
19.(本题满分5分)
20.(本题满分5分)
习近平总书记高度重视教育事业，曾多次强调立德树人这个根本任务.为了落实立德树人根本任务，进一步发展素质教育，促进受教育者全面而富有个性地充分发展，某校增设“A.礼仪”“B.陶艺”“C.园艺”“D.厨艺”及“E.编程”五门校本课程，并且要求每位学生必须选修一门且只能选修一门.李明喜欢“A.礼仪”“B.陶艺”和“E.编程”，王婷喜欢“A.礼仪”“C.园艺”和“E.编程”，两人都不知道在自己喜欢的课程中如何进行选择，于是决定采用摸球的方式来选择.五个小球上分别标有A、B、C、D、E，这些球除所标字母不同外没有任何区别，李明先从A、B、E三个小球中任意摸出一个，并选择该小球上对应的课程；王婷再从A、C、E三个小球中任意摸出一个，并选择该小球上对应的课程.
(1)李明最终选择的是“A.礼仪”的概率为 ;
(2)请用列表法或画树状图的方法，求李明和王婷最终选择同一门课程的概率.
21.(本题满分6分)
(参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50)
22.(本题满分7分)
北京时间2023年2月10日，神舟十五号航天员圆满完成出舱活动全部既定任务，这是中国空间站全面建成后航天员首次出舱活动，见证着我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹.为了激发同学们学习航天知识的热情，某校举办了“致敬航天人，共筑星河梦”主题演讲比赛，比赛的成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，校团委随机抽取部分学生的比赛成绩，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)被抽取的学生共有 人,并补全条形统计图;
(2)本次演讲成绩的中位数落在 等级，计算被抽取学生成绩的平均数；
(3)若该校共有100名同学参加了此次演讲比赛，请估计比赛成绩在A等级的学生共有多少名?
23.(本题满分7分)
24.(本题满分8分)
25.(本题满分8分)
26.(本题满分10分)
【问题提出】
(1)如图①,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,若则
【问题探究】
(2)如图②，a、b是两条平行的直线，且a、b之间的距离为12，点A为直线a上一点，点B、C为直线b上两点，且点B在点C的左侧，若∠BAC=45°，求BC的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，四边形ABCD是园林规划局欲修建的一块平行四边形园林的大致示意图，沿对角线BD修一条人行走道，沿∠BAD的平分线AP(点P在BD上)修一条园林灌溉水渠.根据规划要求,∠ABC=120°,AP=120米,且使得平行四边形ABCD的面积尽可能小,问平行四边形ABCD的面积是否存在最小值?若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由.
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9. m( m+1) (m-1) 10.1 440 11.5 12.3
三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程)
14.解:原式=-3-2+1……………………………………………………………………………………………(3分)
=-4………………………………………………………………………………………(5分)
15.解:去分母,得9x+8-2x≥-6, ………………………………………………(2分)
移项,得9x-2x≥-6-8,
合并同类项,得7x≥-14,……………………………………………………………………………(3分)
系数化为1,得:x≥-2.
∴原不等式的解集为x≥-2.…………………………………………………………………………(4分)
∴不等式的最小整数解为x=-2………………………………………………………………………(5分)
16.解:原式
……………………………………………………………………………(2分)
=a-3.…………………………………………………………………………………………(4分)
当a=-1时,原式=-1-3=-4……………………………………………………………………………(5分)
17.解：如图，点F即为所求.
注：①答案中线条为实线或虚线均不扣分；②没有写出结论不扣分；③其他作法正确不扣分.
18.解:∵△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,
∴∠ACB=45°,AB=AC.……………………………………………………………………………………(2分)
又∵∠BCD=15°,∴∠ACD=60°,…………………………………………………………………(3分)
……………………………………………………………………(4分)
∴AB=AC=2……………………………………………………………………………………………(5分)
19.解：设原正方形空地的边长为xm，由题意，得
( x-1 ) (x-2)=12, ………………………………………………………………………………(3分)
解得 x₁=-2(舍),x₂=5,
∴原正方形空地的边长为5m…………………………………………………………………………(5分)
20.解 …………………………………………………………………………………(2分)
(2)根据题意画树状图如下：
注：①在(2)中如果求出的概率正确，但没有列表格或画树状图扣2分；求出概率正确，若列表或画树状
图后没有就结果作出说明不扣分；②在(2)中若运用枚举法直接列举出9种等可能结果，只要结果正
确，不扣分.
21.解:∵AB⊥BD,∠ACB=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC…………………………………………………………………………………………(2分)
∵ AB⊥BD,∠D=26.6° ,tan26.6°≈0.50,
即BD=2AB,…………………………………………………………………………………(4分)
∴CD=BD-BC=2AB-AB=AB.
∵CD=27米,∴AB=27米,
即该塔的高度AB为27米.…………………………………………………………………………(6分)
注：算出AB=27，没有单位，没有答语不扣分.
22.解:(1)20…………………………………………………………………………………………………(1分)
补全条形统计图如图所示：
(2)C(或80分)………………………………………………………………………………………(3分)
(分),
即被抽取学生成绩的平均数为83.5分…………………………………………………………………(5分)
(名),
∴估计比赛成绩在A等级的学生共有15名…………………………………………………………(7分)
注：(2)、(3)中没有计算过程各扣1分，没有答语均不扣分，不带单位均不扣分.
23.解:(1)设BC段所在直线的函数表达式为F=kh+b(k≠0),则
……………………………………………………………………………………(2分)
解得 ………………………………………………………………………………(3分)
∴BC段所在直线的函数表达式为F=-2h+18………………………………………………………(4分)
(2)当F=8N时,-2h+18=8,………………………………………………………………………………(5分)
∴h=5.
∴当弹簧测力计的示数为8N时,此时圆柱体下降的高度为5cm…………………………………(7分)注：没有答语不扣分.
24.(1)证明:∵DE是⊙O的切线,EF是⊙O的直径,
∴FE⊥DE.………………………………………………………………………………………(1分)
∵ CB⊥EF,∴BC∥DE,
∴∠ACB=∠D,∠BCE=∠DEC.…………………………………………………………………………(2分)
∵点B为AE的中点,CB⊥AE,
∴CB为线段AE的中垂线，
∴AC=CE,∴∠ACB=∠BCE,……………………………………………………………………………(3分)
∴∠D=∠DEC,∴CD=CE.……………………………………………………………………………(4分)
∴BC为△ADE的中位线,
∴DE=2BC=2 . …………………………………………………………………………(8分)
25.解:(1)∵A(-1,0),OC=3OA,∴C(0,3),
∴c=3，即抛物线的表达式为 y=-x²+bx+3.
将点A(-1,0)代入 y=-x²+bx+3, 得
-1-b+3=0,解得b=2,
∴抛物线的函数表达式为y=-x²+2x+3. …………………………………(3分)
(2)由(1)可得，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴D(1,0),∴OD=1,OC=3.……………………………………………………………………………(4分)
∵CD是矩形的一条边，
∴需分CF为对角线和CE为对角线两种情况进行分析.
①当CF为矩形的对角线时，如图，点E在点E₁的位置.
过点E₂作E₂N⊥x轴于点N.
设. E₂( n,-n²+2n+3),则 E₂,N=-n²+2n+3,DN=n-1.
易得△DE₂N∽△CDO,
即 解得 (舍)或
∴此时点E的横坐标为
综上可知，在第一象限的抛物线上存在符合条件的点E，点E的横坐标为 或 ⋯⋯⋯⋯⋯((8分) 注：(2)中不写答语不扣分.
26.解:(1)3…………………………………………………………………………………………………(2分)
(2)作△ABC的外接圆⊙O,连接OA、OB、OC,过点O作OD⊥BC于点D,如图.
即BC的最小值为 …………………………………………………………………(5分)
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，
∴要使四边形ABCD的面积最小,只需△ABD的面积最小…………………………………………(6分)
过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,则PE=PF.
∵DF=GE,∠PFD=∠PEG=90°,PF=PE,
∴△PDF≌△PGE(SAS),
∴要使△ABD的面积最小,只需△PBG的面积最小.…………………………………………………(8分)
∵∠EPF=360°-90°-90°-60°=120°,∴∠BPG=180°-∠EPF=60°.
作△BPG的外接圆⊙O,如图,连接OP、OB、OG,作OH⊥BG于点H.
则∠BOH=∠GOH=60°.设OP=OB=OG=R,则
由OP+OH≥PE,得米,解得R≥40米,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
米 米,
即四边形ABCD的面积存在最小值,最小值为9600.方米.…………………………………(10分)
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